Aleksandra Jovičić diplomantica Odjela za matematiku, Sveučilišta J.J.Strossmayera u Osijeku, Trg Ljudevita Gaja 6, 31000 Osijek

Kristian Sabo Odjel za matematiku, Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku, Trg Ljudevita Gaja 6, 31000 Osijek ksabo@mathos.hr

Formula za euklidsku udaljenost točke do pravca u ravnini dobro je poznata učenicima završnih razreda srednjih škola. U ovom radu promatramo općenitije probleme udaljenosti točke do pravca u ravnini, u smislu $l_{p}-$udaljenosti, $1\leq p\leq \infty$. Pokazat ćemo da se i u tim slučajevima, također, mogu izvesti analogne formule za računanje udaljenosti točke do pravca.

Rad je proizašao iz Diplomskog rada: “$p-$norme na $\mathbb{R}^{n}$ i problemi linearne aproksimacije” autorice Aleksandre Jovičić diplomantice Sveučilišnog nastavničkog studija matematike i informatike na Odjelu za matematiku Sveučilišta J.J.Strossmayera u Osijeku.

Funkcija udaljenosti, Udaljenost točke do pravca, $l_{p}-$udaljenost, Optimizacija.

Ako su $A=(x_{1},y_{1})$ te $B=(x_{2},y_{2})$ dvije točke u ravnini $\mathbb{R}^{2}$, onda

$$d_{2}(A,B)=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}$$

zovemo euklidska udaljenost točaka $A$ i $B$. Nije teško pokazati (vidi, primjerice, [3], [4]) da euklidska udaljenost zadovoljava sljedeća svojstva

$\bullet$	[(i)] $d_{2}(A,B)\geq 0$ za svake dvije točke $A$ i $B$ iz $\mathbb{R}^{2}$,
$\bullet$	[(ii)] $d_{2}(A,B)=0$ onda i samo onda ako je $A=B$,
$\bullet$	[(iii)] $d_{2}(A,B)=d_{2}(B,A)$ za svake dvije točke $A$ i $B$ iz $\mathbb{R}^{2}$,
$\bullet$	[(iv)] $d_{2}(A,C)+d_{2}(C,B)\geq d_{2}(A,B)$ za svake tri točke $A,B$ i $C$ iz $\mathbb{R}^{2}$.

Općenito, svaku funkciju $d:\mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{2}\to[0,\infty\rangle$ koja ima svojstva (i)-(iv) zovemo funkcija udaljenosti na $\mathbb{R}^{2}$ (vidi, primjerice [5]). Treba reći da se funkcija udaljenosti općenito definira na proizvoljnom nepraznom skupu, no zbog prirode našeg problema, ovdje ćemo se zadržati na skupu $\mathbb{R}^{2}$.

Pretpostavimo da su u pravokutnom koordinatnom sustavu zadani točka $T_{0}=(x_{0},y_{0})$ te pravac $\pi$ s jednadžbom $y=k\,x+l$, $k,l\in\mathbb{R}$. Još iz srednjoškolske matematike poznato je da se euklidska udaljenost $d_{2}(T_{0},\pi)$ točke $T_{0}$ do pravca $\pi$ računa po formuli

Formula (1) može se izvesti na nekoliko načina primjenom geometrijskih ili algebarskih pristupa. Jedan od mogućih izvoda je svođenje na optimizacijski problem. U tu svrhu podsjetimo se kako euklidsku udaljenost $d_{2}(T_{0},\pi)$ točke $T_{0}$ do pravca $\pi$ definiramo kao euklidsku udaljenost točke $T_{0}$ i one točke na pravcu $\pi$ koja je u smislu euklidske udaljenosti najbliža točki $T_{0}$. Ako je $T=(x,y)$ proizvoljna točka na pravcu $\pi$, onda euklidska udaljenost točaka $T$ i $T_{0}$ glasi

$$d_{2}(T_{0},T)=\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}=\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(k\,x+l-y_{0})^{2}},$$

te je prema tome

$$d_{2}(T_{0},\pi)=\min_{x\in\mathbb{R}}\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(k\,x+l-y_{0})^{2}}.$$

To znači da se problem svodi na minimizaciju funkcije

$$x\mapsto \sqrt{(x-x_{0})^{2}+(k\,x+l-y_{0})^{2}}.$$

Primijetimo da je umjesto prethodne funkcije dovoljno minimizirati funkciju $\varphi_{2}$ zadanu s

$$\varphi_{2}(x)=(x-x_{0})^{2}+(k\,x+l-y_{0})^{2}.$$

Kako je $\varphi_{2}$ kvadratna funkcija, njezin globalni minimum se postiže u apscisi tjemena odgovarajuće parabole, koju ćemo označiti s $\xi_{2}$ te je

$$\xi_{2}=\frac{k\,y_{0}+x_{0}-k\,l}{k^{2}+1},$$

odakle iz $d_{2}(T_{0},\pi)=\sqrt{\varphi_{2}(\xi_{2})}$, nakon kraćeg računa dobivamo da je

$d_{2}(T_{0},\pi)=\displaystyle\frac{|k\,x_{0}+l-y_{0}|}{\sqrt{k^{2}+1}}$.

 

Točku $(\xi_{2}, k\,\xi_{2}+l)$ na pravcu $\pi$ koja je u smislu euklidske udaljenosti najbliža točki $T_{0}$ zovemo ortogonalna projekcija točke $T_{0}$ na pravac $\pi$. Ortogonalna projekcija točke na pravac u ovom je slučaju, očigledno, jedinstvena.

Osim euklidske udaljenosti, moguće je, također, analizirati problem određivanja udaljenosti točke do pravca i u smislu nekih drugih funkcija udaljenosti. U ovom radu promatramo jednu klasu funkcija udaljenosti koje su poznate kao $l_{p}-$udaljenosti, $1\leq p\leq\infty$. Spomenimo da je euklidska udaljenost specijalni slučaj $l_{p}-$udaljenosti za $p=2$. Pokazat ćemo da se za svaku od $l_{p}-$udaljenosti, $1\leq p\leq\infty$, također, mogu izvesti lijepe zatvorene formule za udaljenost točke do pravca. Tehnike koje ćemo pri tome koristiti zahtijevaju samo poznavanje osnovnih tvrdnji Diferencijalnog računa funkcije jedne varijable. Kao motivacija za pripremu ovog rada poslužio je članak [2] u kojem se promatra opći slučaj $l_{p}-$udaljenosti, $1\leq p\leq\infty$ točke do hiperravnine u $\mathbb{R}^{n}$.

Ako su $A=(x_{1},y_{1})$ i $B=(x_{2},y_{2})$, onda {$l_{p}-$udaljenost, $1\leq p\leq \infty$,} točaka $A$ i $B$ definiramo na sljedeći način

$$d_{p}(A,B)=\left\lbrace \begin{array}{ll} \left(|x_{1}-x_{2}|^{p}+|y_{1}-y_{2}|^{p}\right)^{1/p},&1\leq p\lt \infty,\\ \max\lbrace |x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|\rbrace ,&p=\infty. \end{array}\right.$$

Primijetimo da za $p=2$ dobivamo euklidsku udaljenost. Može se pokazati da svaka od $l_{p}-$udaljenosti, $1\leq p\leq\infty$, zadovoljava uvjete (i)-(iv) iz prvog odjeljka te su one, sukladno tome, funkcije udaljenosti (vidi [4]).

Potpuno analogno kao i u slučaju euklidske udaljenosti, $l_{p}-$udaljenost $d_{p}(T_{0},\pi)$ točke $T_{0}$ do pravca $\pi$ definiramo na sljedeći način

$$d_{p}(T_{0},\pi)=\min_{x\in\mathbb{R}}\left(|k x+l-y_{0}|^{p}+|x-x_{0}|^{p}\right)^{1/p},\quad 1\leq p\lt \infty,$$

te

$$d_{\infty}(T_{0},\pi)=\min_{x\in\mathbb{R}}\max\lbrace |k x+l-y_{0}|,|x-x_{0}|\rbrace .$$

Gledano geometrijski, udaljenost točke $T_{0}$ do pravca $\pi$ možemo interpretirati na sljedeći način. Pretpostavimo da smo nacrtali {$l_{p}-$kružnicu}, $1\leq p \leq \infty$ (vidi primjerice [1]):

$$S_{p}(T_{0},\varepsilon)=\lbrace T\in\mathbb{R}^{2}:d_{p}(T,T_{0})=\varepsilon\rbrace ,$$

sa središtem u točki $T_{0}$ malenog polumjera $\varepsilon\gt 0$. Napuhujemo li kružnicu $S_{p}(T_{0},\varepsilon)$, $1\leq p\leq \infty$, ona će u jednom trenutku za neki $\varepsilon_{p}\gt 0$ dotaknuti pravac $\pi$. Polumjer tako dobivene kružnice $S_{p}(T_{0},\varepsilon_{p})$, $1\leq p\leq \infty$, očigledno predstavlja $l_{p}-$ udaljenost točke $T_{0}$ do pravca $\pi$ (vidi Sliku 1). Pri tome točku $(\xi_{p},\eta_{p})$ na pravcu $\pi$ koja je u smislu $l_{p}-$udaljenosti najbliža točki $T_{0}$ zovemo {$l_{p}-$projekcija} točke $T_{0}$ na pravac $\pi$. Sa Slike 1 odmah je jasno da $l_{1}$ i $l_{\infty}-$projekcije točke na pravac općenito nisu jedinstvene. Spomenimo da su za sve ostale $p$, $1\lt p\lt \infty$, pripadne $l_{p}-$projekcije jedinstvene.

Slika 1: Točka $T_{0}$, pravac $\pi$ i kružnice $S_{p}(T_{0},\varepsilon),\,p=1,2,\infty$

Iz tehničkih razloga u ovom odjeljku posebno ćemo izvesti formulu za slučaj $l_{1}-$udaljenosti. Neka su, kao i dosada, zadani točka $T_{0}=(x_{0},y_{0})$ te pravac $y=k\,x+l$. Pri tome u izvodu razlikujemo dvije različite mogućnosti: $k=0$ te $k\neq 0$.

Ako je $k=0$, onda funkcija $x\mapsto |l-y_{0}|+|x-x_{0}|$ postiže globalni minimum u točki $x=x_{0}$, te je

Pretpostavimo da je $k\neq 0$. Funkcija

je omeđena odozdo te je

$$\lim_{x\to\infty} \left(|k x+l-y_{0}|+|x-x_{0}|\right)=\lim_{x\to-\infty}\left( |k x+l-y_{0}|+|x-x_{0}|\right)=\infty,$$

pa postoji točka iz $\mathbb{R}$ u kojoj se postiže njezin globalni minimum. Nadalje, funkcija (3) je po dijelovima linearna te nije derivabilna u točkama $\frac{y_{0}-l}{k}$ i $x_{0}$ te se globalni minimum funkcije (3) postiže u jednoj od tih dviju točaka.

Očigledno je

Konačno iz formula (2) i (4) dobivamo da je

 

Označimo s $(\xi_{1},\eta_{1})$$l_{1}-$projekciju točke $T_{0}$ na pravac $\pi$. Uočimo da se za $|k|\gt 1$ minimum funkcije (3) postiže u $x=\frac{y_{0}-l}{k}$, dok se za $|k|\lt 1$ minimum funkcije (3) postiže u $x=x_{0}$.

Očito je

Pokažimo da se u slučaju $|k|=1$ minimum funkcije (3) postiže u bilo kojoj konveksnoj kombinaciji brojeva $\frac{y_{0}-l}{k}$ i $x_{0}$, tj. za svaki

Zaista, za $|k|=1$ te $\lambda\in[0,1]$ imamo

$$\begin{eqnarray} \left|k\,\xi_{1}(\lambda)+l-y_{0}\right|+\left|\xi_{1}(\lambda)-x_{0}\right|&=&\left|k \left(\lambda \frac{y_{0}-l}{k}+(1-\lambda) x_{0}\right)+l-y_{0}\right|\\ &+&\left|\lambda \frac{y_{0}-l}{k}+(1-\lambda) x_{0}-x_{0}\right|\\ \nonumber &=&(1-\lambda)|k x_{0}+l-y_{0}|+\lambda |k x_{0}+l-y_{0}|\\ \nonumber &=& |k x_{0}-l-y_{0}|\\ \nonumber &=& d_{1}(T_{0},\pi).\end{eqnarray}$$

Zaključujemo kako je u slučaju $|k|\neq 1$, $l_{1}-$projekcija točke $T_{0}$ na pravac $\pi$ jedinstvena točka $(\xi_{1},\eta_{1})$ zadana s (5), dok je u slučaju $|k|=1$ svaka točka oblika $(\xi_{1}(\lambda),k\,\xi_{1}(\lambda)+l-y_{0})$, $\lambda\in[0,1]$, $l_{1}-$projekcija točke $T_{0}$ na pravac $\pi$, pri čemu je $\xi_{1}(\lambda)$ zadan sa (6).

U ovom općem slučaju problem se svodi na minimizaciju funkcije

$$x\mapsto \left(|k x+l-y_{0}|^{p}+|x-x_{0}|^{p}\right)^{1/p},\quad 1\lt p\lt \infty.$$

Slično kao kod euklidske udaljenosti dovoljno je minimizirati funkciju

$$\varphi_{p}(x)=|k x+l-y_{0}|^{p}+|x-x_{0}|^{p}, \quad 1\lt p\lt \infty.$$

Kako je funkcija $\varphi_{p}$ omeđena odozdo te je

$$\lim_{x\to\infty}\left( |k x+l-y_{0}|^{p}+|x-x_{0}|^{p}\right)=\lim_{x\to-\infty}\left( |k x+l-y_{0}|^{p}+|x-x_{0}|^{p} \right)=\infty,$$

postoji točka iz $\mathbb{R}$ u kojoj se postiže njezin globalni minimum. S ciljem određivanja te točke, posebno promatramo dva slučaja: $k=0$ te $k\neq 0$.

Ako je $k=0$, onda je $\varphi_{p}(x)=|l-y_{0}|^{p}+|x-x_{0}|^{p}$, te se njezin minimum postiže u točki $x=x_{0}$ pa je

Neka je $k\neq 0$. Primijetimo da je funkcija $\varphi_{p}$ derivabilna u svim točkama na $\mathbb{R}$ osim možda u točkama $x=x_{0}$ te $x=\frac{y_{0}-l}{k}$ te ćemo u svrhu minimizacije funkcije $\varphi_{p}$ upotrijebiti znanja iz Diferencijalnog računa funkcije jedne varijable.

Promatrajmo funkciju $\varphi_{p}$ na skupu $\mathbb{R}\setminus\left\lbrace x_{0},\frac{y_{0}-l}{k}\right\rbrace$. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $x_{0}\lt \frac{y_{0}-l}{k}$ (slučaj $x_{0}\geq \frac{y_{0}-l}{k}$ može se analizirati potpuno analogno).

Pokažimo najprije da funkcija $\varphi_{p}$ nema stacionarnih točaka na intervalima $\langle -\infty,x_{0}\rangle$ te $\langle \frac{y_{0}-l}{k},+\infty\rangle$.

Ako je $x\in\langle -\infty, x_{0}\rangle$, funkcija $\varphi_{p}$ je derivabilna u $x$ te je

$$\begin{eqnarray} \frac{d\varphi_{p}(x)}{dx}&=&|k|^{p} p\left|x-\frac{y_{0}-l}{k}\right|^{p-1}\text{sign}\left(x-\frac{y_{0}-l}{k}\right)+p |x-x_{0}|^{p-1}\text{sign}(x-x_{0})\\ \nonumber &=&-|k|^{p} p\left|x-\frac{y_{0}-l}{k}\right|^{p-1}-p |x-x_{0}|^{p-1}\lt 0,\end{eqnarray}$$

gdje je $\text{sign}(x)=\left\lbrace \begin{array}{rl} 1,& x\gt 0\\ 0,& x=0\\ -1,&x\lt 0, \end{array}\right.$ tzv. funkcija predznaka.

Ako je $x\in\langle \frac{y_{0}-l}{k},+\infty\rangle$, funkcija $\varphi_{p}$ je derivabilna u $x$ te je

$$\begin{eqnarray} \frac{d\varphi_{p}(x)}{dx}&=&|k|^{p} p\left|x-\frac{y_{0}-l}{k}\right|^{p-1}+p |x-x_{0}|^{p-1}\gt 0.\end{eqnarray}$$

Preostaje analizirati slučaj $x\in\langle x_{0},\frac{y_{0}-l}{k}\rangle$. Na tom je skupu funkcija $\varphi_{p}$ također derivabilna te je

Rješenje jednadžbe $\frac{d\varphi_{p}(x)}{dx}=0$, glasi

Uočimo da je $\xi_{p}\in\langle x_{0},\frac{y_{0}-l}{k}\rangle$ te

$$\varphi_{p}(\xi_{p})=\left(\displaystyle\frac{|k x_{0}+l-y_{0}|}{\left(|k|^{\frac{p}{p-1}}+1\right)^{\frac{p-1}{p}}}\right)^{p}.$$

Kandidati za točku u kojoj se postiže globalni minimum funkcije $\varphi_{p}$ su $x_{0}$, $\frac{y_{0}-l}{k}$ te $\xi_{p}$ zadana s (9). Pokažimo da je

$$\min\left\lbrace \varphi_{p}(x_{0}),\varphi_{p}\left(\frac{y_{0}-l}{k}\right),\varphi_{p}(\xi_{p})\right\rbrace =\varphi_{p}(\xi_{p}).$$

U tu svrhu uočimo da za svaki $1\lt p\lt \infty$ i svaki $k\in\mathbb{R}$ vrijedi

te

Prema (10) i (11) imamo

$$\min\left\lbrace \left(\frac{|k x_{0}+l-y_{0}|}{|k|}\right)^{p},\left|k x_{0}+l-y_{0}\right|^{p},\left(\frac{|k x_{0}+l-y_{0}|}{\left(|k|^{\frac{p}{p-1}}+1\right)^{\frac{p-1}{p}}}\right)^{p}\right\rbrace =\left(\frac{|k x_{0}+l-y_{0}|}{\left(|k|^{\frac{p}{p-1}}+1\right)^{\frac{p-1}{p}}}\right)^{p}.$$

Konačno slijedi da je $d_{p}(T_{0},\pi)=\left(\varphi(\xi_{p})\right)^{1/p}$, odakle je

$d_{p}(T_{0},\pi)=\displaystyle\frac{|k x_{0}+l-y_{0}|}{\left(|k|^{\frac{p}{p-1}}+1\right)^{\frac{p-1}{p}}},\quad 1\lt p\lt \infty$.

Iz izvoda formule (1) neposredno proizlazi da je $(\xi_{p},k\,\xi_{p}+l)$, gdje je $\xi_{p}$ dan s (9) pripadna $l_{p}-$projekcija točke $T_{0}$ na pravac $\pi$.

Ako s $q\in \mathbb{R}$ označimo tzv. konjugirani eksponent od $p$ (vidi [3]), odnosno broj sa svojstvom da je $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, onda formulu (1) možemo zapisati u obliku

$$d_{p}(T_{0},\pi)=\frac{|k x_{0}+l-y_{0}|}{\left(|k|^{q}+1\right)^{\frac{1}{q}}}= \frac{|k x_{0}+l-y_{0}|}{d_{q}((k,1),(0,0))}.$$

Ako su $T_{0}=(x_{0},y_{0})$ te $y=k\,x+l$, onda je problem određivanja $l_{\infty}-$udaljenosti ekvivalentan minimizaciji funkcije

$$\varphi_{\infty}(x)= \max\lbrace |x-x_{0}|,|k\,x+l-y_{0}|\rbrace .$$

Analogno kao u slučaju funkcije $\phi_{p}$ može se pokazati da postoji točka u kojoj se postiže globalni minimum funkcije $\varphi_{\infty}$. Funkcija $\varphi_{\infty}$ je konveksna po dijelovima linearna funkcija te iz grafa (vidi Sliku 2) slijedi da se njezin globalni minimum postiže u točki $\xi_{\infty}$ za koju vrijedi

 

Slika 2: Graf funkcije $\phi_\infty$ za $k\ne0$.

$$|\xi_{\infty}-x_{0}|=|k\,\xi_{\infty}+l-y_{0}|.$$

Ako je $|k|\neq 1$, ova jednadžba ima dva rješenja

$$\xi_{\infty,1}=\frac{y_{0}-x_{0}-l}{k-1},\quad \xi_{\infty,2}=\frac{y_{0}-x0-l}{k+1}$$

te je

$$\begin{align*} \min \varphi_{\infty}(x)&= \min \lbrace \varphi_{\infty}(\xi_{\infty,1}),\varphi_{\infty}(\xi_{\infty,2})\rbrace \\ &=\min\left\lbrace \frac{|kx_{0}+l-y_{0}|}{|k-1|},\frac{|kx_{0}+l-y_{0}|}{|k+1|}\right\rbrace \\ &=|kx_{0}+l-y_{0}|\min\left\lbrace \frac{1}{|k-1|},\frac{1}{|k+1|}\right\rbrace =\frac{|kx_{0}+l-y_{0}|}{|k|+1}, \end{align*}$$

pri čemu je posljednja jednakost posljedica identiteta

$$\min\left\lbrace \frac{1}{|k-1|},\frac{1}{|k+1|}\right\rbrace =\frac{1}{|k|+1},$$

koji se može lako provjeriti. Slično se može analizirati slučaj $|k|=1$, te konačno dobivamo formulu

$d_{\infty}(T_{0},\pi)=\displaystyle\frac{|k\,x_{0}+l-y_{0}|}{|k|+1}$.

Primijetimo, također, da je

$$d_{\infty}(T_{0},\pi)=\frac{|k\,x_{0}+l-y_{0}|}{d_{1}((k,1),(0,0))}.$$

Izvod formule za $l_{\infty}-$projekciju točke $T_{0}$ na pravac $\pi$ ostavljamo zainteresiranim čitateljima.

Na kraju ćemo rezimirati sve prethodno navedene formule. Ako su $p,q\in\mathbb{R}$ konjugirani eksponenti, odnosno, takvi da je $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ te ako je konjugirani eksponent od $p=1$ definiramo uobičajeno kao $q=\infty$, onda $l_{p}-$udaljenost $1\leq p\leq \infty$, $d_{p}(T_{0},\pi)$ točke $T_{0}$ do pravca $\pi$ glasi

Također, osim u eksplicitnom obliku, pravac $\pi$ možemo promatrati u implicitnom obliku $ax+by+c=0$. U tom se slučaju može izvesti odgovarajuća formula za udaljenost točke $T_{0}$ do pravca $\pi$, koja glasi

gdje su $p,q\in\mathbb{R}$ konjugirani eksponenti.