Tijela koja rotiraju nalazimo u mnogim mehaničkim uređajima, pa i onima kojima se i sami služimo. Ovdje ćemo se posebno baviti izduženim tijelima koja se rotiraju oko svoje „izdužene” osi. Primjer su svrdla raznih bušilica (klasične ručne ili one za bušenja u geologiji, vađenju nafte), razne osovine (vratila) za prijenos snage, kao kod automobila, brodova ili u primjeru rotora turbina elektrana.

Kod svih ovih primjera mehaničkih sustava tijelo rotira oko svoje osi. Potencijalni problemi dolaze zbog utjecaja centrifugalne sile koja teži izbaciti sustav iz pravilne vrtnje.
Tipično, to se događa za dovoljno velike brzine vrtnje. Posljedice su velike vibracije koje mogu uništiti čitav sustav. Jednom kad izgradimo konkretan sustav, relativno ga je lako eksperimentalno testirati i provjeriti radi li on korektno u radnim uvjetima. No, ako smo ga izgradili „na slijepo”, velike su šanse da nije racionalno izgrađen (ili je predimenzioniran ili iskazuje određene nedostatke, primjerice nestabilnost). Stoga je od interesa modelirati konkretni mehanički sustav da bismo ga lakše projektirali. U našem konkretnom slučaju poželjno je unaprijed znati koje su to brzine koje će producirati nestabilnu vrtnju.

U ovom nam je radu u cilju izložiti čitav proces modeliranja rotirajućih štapova. Počinjemo s opisom teorije i smještanjem problema u okvire te teorije. Zatim tu teoriju primjenjujemo na konkretni problem rotirajućeg štapa. Dobiveni model smještamo u matematički kontekst, te matematički analiziramo problem. Nakon toga određujemo analitička rješenja problema za neke specijalne slučajeve (i jedine kada je to i moguće u našem primjeru), te donosimo numeričke aproksimacije rješenja. Na kraju uspoređujemo dobivene rezultate (analitičke i numeričke) s rezultatima eksperimenta, te time konačno potvrđujemo model.



„Izduženo” tijelo koje se rotira u nastavku nazivamo tanki štap. Tanki štap $\Omega \subset \mathbb{R}^{3}$ opisujemo kao trodimenzionalno tijelo kojem su dvije dimenzije („debljine”) malene u odnosu na treću („duljinu”, $L\gt 0$):
u inženjerskoj literaturi tipično se pretpostavlja da je debljina / duljina $\lt 1/ 30$. Malo preciznije, neka je dana familija $\lbrace D(x_{3})\subset \mathbb{R}^{2}_{x_{1} x_{2}}: x_{3} \in (0, L)\rbrace$. Štap definiramo s Skupove $D(x_{3})$ zovemo poprečni presjeci štapa u točki $x_{3}$. Dopuštamo ovisnost o točki poprečnog presjeka jer su nam baš takvi i realni primjeri. Sada tankoću štapa iskazujemo zahtjevom: $\mathop{\rm diam}\nolimits{D(x_{3})}\ll L$. Specijalno, od interesa će nam biti samo ravni štap. To je onaj kojemu je centralna linija (linija koja prolazi kroz težišta poprečnih presjeka) ravna. Stoga pretpostavljamo da vrijedi $$\mathop{\int\!\!\!\int}\limits_{D(x_{3})} x_{\alpha} \, dx_{1} dx_{2} =0, \quad \alpha=1, 2, \quad x_{3} \in (0, L).$$ Radi jednostavnosti, ovdje dodatno pretpostavljamo da poprečni presjeci zadovoljavaju dodatni uvjet simetrije $$\mathop{\int\!\!\!\int}\limits_{D(x_{3})} x_{1} x_{2} \, dx_{1} dx_{2} = 0, \qquad x_{3} \in (0, L)$$ (zadovoljen je, naprimjer, za kružni i pravokutni poprečni presjek).


Djelujući silom naprimjer na tanki čelični štap, on se deformira. Uklonimo li silu kojom smo djelovali, štap se vraća u nedeformirani (prvobitni) položaj. Tipičan primjer takvog ponašanja je opruga. Tijela koja se pri djelovanju sile deformiraju, a nakon uklanjanja sile vraćaju u prvobitni položaj, nazivamo elastičnim tijelima, a teoriju koja se njima bavi teorijom elastičnosti.

Tanki elastični štap je prema prethodnom opisu trodimenzionalno elastično tijelo. Jednadžbe trodimenzionalne teorije elastičnosti, čak i one linearizirane (pojednostavljene uz pretpostavku neznatne deformacije), komplicirane su. No, u slučaju posebnih geometrija tijela, kao u slučaju štapa, moguće je izvesti jednostavnije modele ponašanja (slično je u primjeru opruge, koja je trodimenzionalno elastično tijelo; njeno je ponašanje vrlo kompleksno za precizan opis, ali znamo da je „osnovno” ponašanje modelirano jednadžbom $F=k x$; $F$ je sila koju primjenimo na oprugu, $x$ pripadno izduženje (skraćenje) opruge, a $k$ krutost opruge). Geometrijski tanki štap možemo „dobro” opisati njegovom centralnom krivuljom, parametriziranom s $(0,0,x_{3})$, $x_{3}\in (0,L)$, a „dobro” ovdje znači do na najveći dijametar poprečnih presjeka. Pokazuje se da se i deformacija tankog elastičnog štapa može opisati deformacijom centralne krivulje štapa, parametriziranom s $\mathbf{\Psi}(x_{3}) \in \mathbb{R}^{3}$, $x_{3}\in (0,L)$.

I opet je pogreška takvog modela, među ostalim, vezana za najveći dijametar poprečnih presjeka. Izvod takvog modela daje i malo više. Naime, pokazuje se da se deformacija tankog elastičnog štapa može opisati kroz deformaciju centralne linije štapa, te kroz infinitezimalnu krutu deformaciju poprečnih presjeka (infinitezimalna kruta deformacija je translacija i rotacija, s tim da je rotacija aproksimirana sumom matrica $I+A$, gdje je $I$ identiteta, a $A$ antisimetrična matrica. Naime, može se pokazati da je svaka rotacija $R=e^{A}$, za neku antisimetričnu matricu, pa je $I+A$ zapravo Taylorov polinom 1. stupnja za $R$).
Takva deformacija $\mathbf{\Psi}(x)$, $x \in \Omega$ s pomoću pomaka $\mathbf{U}(x) = \mathbf{\Psi}(x) - x$ može se zapisati formulama Ovdje je $\mathbf{u}(x_{3})=(u_{1}(x_{3}),u_{2}(x_{3}),u_{3}(x_{3}))$ pomak točke $(0,0,x_{3})$ centralne linije štapa, $u'_{1}(x_{3})$ opisuje kut zakreta poprečnog presjeka na mjestu $x_{3}$ oko osi $\mathbf{e}_{2}$, $u'_{2}(x_{3})$ opisuje kut zakreta poprečnog presjeka na mjestu $x_{3}$ oko osi $\mathbf{e}_{1}$, a $\omega(x_{3})$ opisuje kut zakreta poprečnog presjeka na mjestu $x_{3}$ oko osi $\mathbf{e}_{3}$ (torziju). Ovakav oblik pomaka naziva se Bernoulli–Navierov (ili Kirchhoff–Love) pomak.

Budući da ćemo promatrati stabilnost rotirajućeg štapa u odnosu na transverzalni pomak (okomit na centralnu liniju), u nastavku pišemo samo jednadžbe koje zadovoljavaju transverzalni pomaci $(u_{1},u_{2})$. To su obične diferencijalne jednadžbe četvrtog reda: (vidi npr. [4], [6]). Ovdje su $(f_{1}, f_{2})$ i $(m_{1}, m_{2})$, redom, linijska gustoća transverzalne sile i momenta (to znači da je $\int_{a}^{b} f_{1} dx_{3}$ komponenta ukupne sile u smjeru $\mathbf{e}_{1}=(1,0,0)$ na komad štapa $\lbrace x\in \mathbb{R}^{3}: (x_{1},x_{2} \in D(x_{3})), x_{3} \in [a,b]\rbrace$). $E\gt 0$ je Youngov modul elastičnosti materijala (opisuje svojstvo materijala od kojeg je štap napravljen), a $I_{\alpha} (x_{3})$, $\alpha=1, 2$, su momenti inercije poprečnog presjeka $D(x_{3})$ – opisuju geometriju poprečnog presjeka štapa: $$I_{\alpha} (x_{3}) = \mathop{\int\!\!\!\int}\limits_{D(x_{3})} x_{\alpha}^{2} \, dx_{1} dx_{2}, \quad \alpha = 1, 2.$$ Funkcija $\sigma(x_{3})$ je longitudinalna napetost štapa (npr. u slučaju bušilice sila kojom je pritišćemo primjerice na zid). Strogi izvod ovog modela može se naći u [6] i [7].


U nastavku ćemo iskoristiti model (3) za štap koji se rotira konstantnom kutnom brzinom $\gamma$, te na njega ne djeluju druge sile osim centrifugalne. Očito je riječ o dinamičkom problemu, što znači da bismo se morali koristiti jednadžbama gibanja, a ne ravnoteže. No, ako odaberemo koordinatni sustav vezan za štap koji se rotira, u tom koordinatnom sustavu štap miruje. U modelu (3) transverzalni pomak uzrokovan je centrifugalnom silom i njome uzrokovanim momentom. Stoga ih, u koordinatnom sustavu u kojem štap miruje, računamo po formulama gdje je $\mathbf{e}_{3} =(0, 0, 1)$; $\varrho \in \mathbb{R}^{+}$ je linijska gustoća mase ($\rho d$ je masa komada štapa duljine $d$), a $\times$ označava vektorski produkt (ovo su uobičajene formule za centrifugalnu silu $\mathbf{\gamma} \times (\mathbf{\gamma} \times \mathbf{r})$, gdje je $\mathbf{\gamma}$ vektor kutne brzine, a $\mathbf{r}$ radij vektor mase; jedini je dodatak integral po svim točkama tijela jer nije riječ o masi u točki).

Koristeći Bernoulli-Navierov oblik pomaka (2), u stanju smo prikazati silu i moment s pomoću transverzalnog pomaka centralne linije: ovdje je $S(x_{3}) = | D(x_{3})|$ površina poprečnog presjeka na mjestu $x_{3}$.

Uvrštavanjem ovih sila i momenata u jednadžbe modela (3) dobivamo dvije jednadžbe $$\left(I_{\alpha} u''_{\alpha}\right)'' - \frac{1}{E} \left(\sigma u'_{\alpha}\right)' - \lambda \left(\left( I_{\alpha} u'_{\alpha}\right)'+S u_{\alpha} \right) = 0,\qquad \alpha=1,2,$$ gdje smo uveli konstantu Ovo su jednadžbe za transverzalni pomak u oba transverzalna smjera. S obzirom na to da su jednadžbe iste, u nastavku pišemo samo jednu U slučaju kada su oba kraja štapa ukliještena (nije dopušten progib ni rotacija poprečnog presjeka na rubu), uz ovu jednadžbu pridružujemo i rubne uvjete

U slučaju kad su oba kraja učvršćena šarnirom (nije dopušten progib, dok je rotacija slobodna na krajevima), rubni uvjeti su

Zadaća za pomak štapa pri rotaciji sada glasi: naći funkciju $u$ koja zadovoljava jednadžbu (7) te jedan od rubnih uvjeta (8) ili (9), ovisno o problemu koji promatramo (čak možemo i kombinirati različite rubne uvjete na oba kraja). Jasno je da za svaki $\lambda \in \mathbb{R}$ jedno rješenje ovih zadaća funkcija $u=0$. Pitanje je postoje li možda i neka druga rješenja za određene $\lambda$ (možda ne za sve). Stoga je i $\lambda$ nepoznanica u problemu i on sada glasi: naći sve $\lambda \in \mathbb{R}$ i funkcije $u$ koje nisu nul-funkcije za koje vrijedi ili u slučaju drugih rubnih uvjeta Zadaće ovog tipa nazivaju se svojstvene zadaće (ili spektralne zadaće), a ovo su primjeri svojstvenih zadaća za linearni diferencijalni operator (4. reda). Rješenja su zapravo uređeni parovi $(\lambda, u_{\lambda})$ realnog broja $\lambda$ i nenul-funkcije $u_{\lambda}$ koja rješava rubnu zadaću za diferencijalnu jednadžbu za dani $\lambda$. $\lambda$ se naziva svojstvena vrijednost, a pripadni $u_{\lambda}$ svojstveni vektor ili svojstvena funkcija. Za primijetiti je da takav $u_{\lambda}$ nije jedinstven jer je i svaka funkcija oblika $c u_{\lambda}$, za $c\in \mathbb{R}$ također svojstvena funkcija.

Najjednostavniji primjer svojstvenih zadaća su svojstvene zadaće za linearne operatore na konačnodimenzionalnim vektorskim prostorima koje se reduciraju na matrične svojstvene zadaće (vidi Linearnu algebru).

Matematička teorija ovakvih svojstvenih zadaća bazirana je na spektralnoj teoriji kompaktnih linearnih operatora [3]. Osnovni je rezultat za našu svojstvenu zadaću da je spektar (skup svih svojstvenih vrijednosti) prebrojiv (ima članova koliko ima i prirodnih brojeva), te da nema konačnog gomilišta. Ovo zajedno daje da je spektar diskretan. Spektar u nastavku označavamo s $\Lambda$.

U ovom problemu nenul–rješenja dolaze iz dvaju izvora: rotacije štapa te longitudinalne sile koja djeluje na štap. Naprimjer, pretpostavimo da se štap ne rotira; uzmemo li dovoljno tanki čelični štap i pritisnemo li ga duž osi štapa, doći će do transverzalnog progiba ako smo primijenili dovoljno veliku silu.

Taj slučaj nestabilnosti bez vrtnje (Eulerova nestabilnost, vidi [4]) ovdje isključujemo zahtjevom (vidi [1]) $$\sigma_{\min{}} + E I_{\min{}} \left( \frac{\pi}{L}\right)^{2} \gt 0,$$ pri čemu je $$\sigma_{\min{}} = \min_{x_{3} \in [0, L]}{\sigma(x_{3})}, \quad I_{\min{}} ={\min_{x_{3} \in [0, L]}{I (x_{3})}}.$$
Zbog definicije broja $\lambda$ u (6) i našeg problema jasno je da su nam od interesa samo $\lambda \gt 0$. Stoga se ograničavamo na promatranje skupa $\Lambda \cap \mathbb{R}^{+}$. Označimo $$\lambda_{0} = \min \Lambda \cap \mathbb{R}^{+},$$ s tim da definiramo $\lambda_{0} = +\infty$ ako je skup $\Lambda \cap \mathbb{R}^{+}$ prazan. Sada je štap stabilan za kutne brzine rotacije $\gamma$ koje zadovoljavaju $$0 \lt \gamma \lt \gamma_{\scriptsize{\mbox{kritična}}} = \left( \frac{E\lambda_{0}}{\varrho}\right)^{1/2}.$$ Kutnu brzinu vrtnje $\gamma_{\scriptsize{\mbox{kritična}}}$ zovemo kritična brzina. Osim u jednom, dva slučaja kritičnu brzinu nije moguće točno izračunati. Ostaju nam dvije mogućnosti aproksimacije kritične brzine. Jedna je bazirana na analitičkoj ocjeni kritične brzine odozdo i izvedena je u [1]. Druga je numerička aproksimacija bazirana na metodi konačnih elemenata (Finite Element Method, FEM) i prikazana je u [5]. Analitičku ocjenu odozdo donosimo sljedećem teoremu


Ovaj rezultat zapravo kaže: ako je štap dovoljno „debeo” nema nestabilnosti; inače, nestabilnost je moguća samo za brzine rotacije veće od $\overline{\gamma}$.


Ovdje donosimo dva primjera. U prvom primjeru (vjerojatno je i jedini takav) znamo izračunati analitička rješenja našeg problema. U drugom primjeru svedemo određivanje svojstvenih vrijednosti na problem nultočaka nelinearne funkcije. U oba slučaja riječ je o štapu konstantnog poprečnog presjeka te konstantne uzdužne sile $\sigma$. Za sve druge slučajeve zadaću moramo numerički rješavati.




Model rotirajućeg štapa nije moguće analitički riješiti čim neki od koeficijenata nije konstantan (npr. poprečni presjek nije konstantnog radijusa duž štapa). U svim tim slučajevima problem rješavamo numerički, metodom konačnih elemenata, vidi [5].






Da bismo neki model upotrijebili u praksi, najčešće je nužna verifikacija modela s pomoću eksperimenta. Postavljanje i vođenje eksperimenta iznimno je zahtjevan zadatak te traži puno inženjerskog znanja i iskustva. Fizikalni model izrađen je i ispitivan na Katedri za turbostrojeve Fakulteta strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Zagrebu. Eksperiment su organizirali i vodili prof. dr. sc. Branimir Matijašević i prof. dr. sc. Zvonimir Guzović.
Osnovni podaci eksperimenta su sljedeći:

$\bullet$	duljina štapa: $L=0.835$m
$\bullet$	promjer štapa: $2R=0.01$m
$\bullet$	uzdužna napetost: $\sigma = 0$N
$\bullet$	materijal štapa: čelik
$\bullet$	Youngov modul elastičnosti: $E=2.1 \, 10^{11}$Pa
$\bullet$	gustoća: $\varrho = 7800 \frac{\text{kg}}{\text{m}^{3}}$

Obavljena su dva eksperimenta — jedan za ukliještene krajeve i jedan za krajeve učvršćene šarnirom. Za određivanje kritične brzine korišten je stroboskop (Slika 23),
dok je za rotaciju štapa korišten elektromotor (Slika 24).
Ograničenja korištenih uređaja omogućila su određivanje samo prvih dviju kritičnih brzina.


U slučaju ovih rubnih uvjeta, matematički model te eksperiment daju rezultate u Tablici 7.
Iz rezultata vidimo da je razlika za prvu kritičnu brzinu ispod 1%, a za drugu ispod 3%.


U slučaju ovih rubnih uvjeta, matematički model te eksperiment daju rezultate u Tablici 8.
Rezultati eksperimenta jako odudaraju od onih dobivenih iz modela. Naravno, u ovom slučaju delikatna je implementacija rubnih uvjeta. Za primijetiti je da je 1. kritična brzina zapravo vrlo bliska onoj iz 1. eksperimenta.