Matematičko modeliranje konflikta - Richardsonov model
Sažetak
U ovom radu prezentiramo matematički model koji opisuje mogući konflikt između dviju država/saveza s pomoću jednostavnog sustava običnih diferencijalnih jednadžbi. Koristeći se osnovnim pojmovima i rezultatima teorije stabilnosti, analiziramo izvedeni model i diskutiramo njegovu valjanost na temelju stvarnih događanja uoči Prvog svjetskog rata. 1Uvod
Budući da je derivacija mjera promjene, diferencijalnim se jednadžbama najjednostavnije izražavaju i modeliraju mnogi prirodni zakoni te razni procesi u različitim područjima znanosti i tehnike (v. npr.
Richardson, L. F., Generalized foreign politics: a study in group psychology, British Journal of Psychology, Monograph Supplements no.23 (1939).
Ovaj rad napisan je prema pregledu spomenutog članka koji nalazimo u
Premda jednostavan, Richardsonov model predstavlja vrlo uspio pokušaj da se formalno, matematički, analizira sukob dviju strana i dođe do spoznaja o uzrocima njegova izbijanja. Upravo su uzroci koji dovode do rata ili eskalacije konflikta bili predmet mnogobrojnih rasprava tijekom povijesti. Prisjetimo se jedne vezane uz Prvi svjetski rat. Sir Edward Grey, ministar vanjskih poslova Velike Britanije, govorio je u to vrijeme: Povećanje naoružanja koje ima za cilj osnažiti osjećaj moći i sigurnosti jedne nacije, zapravo uopće ne postiže taj efekt. Posve suprotno, ono izaziva strah te uzrokuje jačanje osjećaja snage drugih nacija. Enormni porast naoružanja u Europi - to je ono što je učinilo ovaj veliki rat neizbježnim. S druge strane, L. S. Amery, član Donjeg doma britanskog Parlamenta u svom govoru 1930. replicira: Uz dužno poštovanje prema preminulom državniku, porast naoružanja samo je simptom sukoba ambicija i teritorijalnih pretenzija onih nacionalističkih sila koje su htjele rat. Rat je započeo iz jednostavnog razloga. Zato što su Srbija, Italija i Rumunjska željele integrirati u svoj sastav teritorije koji su u to vrijeme pripadali austrijskom carstvu i kojih se ono nije bilo spremno odreći bez borbe. Važno je napomenuti da Richardsonov model, koji ćemo izvesti u idućem poglavlju, uzima u obzir obje teorije kao uzroke konflikta.
2Izvod modela
Označimo s x=x(t) ratni potencijal, tj. razinu naoružanja države X u trenutku t (mjereno u godinama), a s y=y(t) razinu naoružanja države Y. Osnovna pretpostavka modela jest da funkcija t\mapsto x(t) zadovoljava zakon prema kojem njezina brzina promjene ovisi o sljedeća tri čimbenika:
| (1) | animozitetu kojeg Država X gaji prema Državi Y, |
| (2) | razini naoružanja y(t) države Y, |
| (3) | troškovima naoružavanja države X. |
\frac{dx}{dt}(t)=g+ky(t)-\alpha x(t)\;.
Pretpostavljajući da se t\mapsto y(t) ponaša po sličnom zakonu, analognim zaključivanjem dolazimo do jednadžbe koju mora zadovoljavati \frac{dy}{dt}:
\frac{dy}{dt}(t)=h+\ell x(t)-\beta y(t)\;,\;\;\;\;h,\ell,\beta=\text{const.}\gt 0.
Dakle, funkcije x=x(t),\;y=y(t) zadovoljavaju sljedeći autonomni2 linearni sustav običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda s konstantnim koeficijentima:
(1)
\begin{align} \frac{dx}{dt}&=-\alpha x+ky+g\;, \\ \frac{dy}{dt}&=\ell x-\beta y+h\;. \end{align}
\textbf{w}(t)=\begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix},\;\;\;\;\;\;\textbf{A}=\begin{bmatrix} -\alpha & k\\ \ell & -\beta \end{bmatrix},\;\;\;\;\;\;\textbf{b}=\begin{bmatrix} g \\ h \end{bmatrix},
vidimo da se sustav ((2)
\frac{d\textbf{w}}{dt}=\textbf{A}\textbf{w}+\textbf{b}\;.
Napomena 1. Model koji opisuje sustav (2 ) primjenjiv je i na saveze država (alijanse). Primjerice, u kontekstu Prvog svjetskog rata, državu X možemo zamijeniti savezom Antante koji su činile Rusija, Francuska i Velika Britanija, a državu Y savezom sila osovine u kojem su sudjelovale Njemačka i Austro-Ugarska.
Napomena 2. Pretpostavka modela kojom su animoziteti g i h uzeti kao konstantne vrijednosti koje nisu u funkciji vremena t, vrlo je gruba i ne odgovara realnosti. Ti parametri, bez sumnje, mijenjaju se s vremenom, štoviše, imaju velike i nagle skokove pa ih ne možemo reprezentirati niti neprekinutim funkcijama (pretpostavka da su g=g(t) i h=h(t) po dijelovima konstantne funkcije bila bi znatno primjerenija). Bez obzira na tu manjkavost, dani model dobro opisuje stvarnu situaciju uoči Prvog svjetskog rata (v. Primjer 3.4).
Razmotrimo sada neke jednostavne posljedice izvedenog modela:
| (i) | Uzmimo da je g=h=0. Tada su x(t)\equiv 0, y(t)\equiv 0 ravnotežna stanja3 sustava ( |
| (ii) | Pretpostavimo da x i y iščezavaju u nekom trenutku t=t_{0}. Tada je \frac{dx}{dt}=g i \frac{dy}{dt}=h. Prema tome,
g,h\gt 0\;\;\Rightarrow\;\; x(t),y(t)\neq 0,\;\;\; t\gt t_{1}\gt t_{0}.
Dakle, ako postoji animozitet (s bilo koje strane), obostrano razoružanje neće samo po sebi dovesti do stanja trajnog mira. |
| (iii) | Neka je y(t)=0 za neki t=t_{0}. Tada iz ( |
| (iv) | Utrka u naoružavanju započinje kada "obrambeni mehanizmi" počnu dominirati i potpuno prevagnu u odnosu na ostale čimbenike. Na taj način, sustav ( (3)
\frac{dx}{dt}=ky,\;\;\;\;\;\;\frac{dy}{dt}=\ell x\;.
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}-k\ell x=0\;.
Time smo dobili homogenu linearnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima čije opće rješenje glasi
x(t)=C_{1}e^{\sqrt{k\ell}\;t}+C_{2}e^{-\sqrt{k\ell}\;t},\;\;\;\;\;C_{1},C_{2}=\text{const}.
Vratimo li to u (y(t)=\sqrt{\frac{\ell}{k}}\;\bigg(C_{1}e^{\sqrt{k\ell}\;t}-C_{2}e^{-\sqrt{k\ell}\;t}\bigg)\;.
Uočavamo da x(t),y(t)\to +\infty kad t\to +\infty, što možemo interpretirati kao rat. |
3Stabilnost
Kao što smo prije spomenuli, nultočke desne strane \textbf{f}(\textbf{w}):=\textbf{A}\textbf{w}+\textbf{b} predstavljaju ravnotežna stanja sustava (
(4)
\textbf{w}=\textbf{w}_{0}=\left(\begin{array}{c} x_{0} \\ y_{0}\\ \end{array}\right),\;\;\;\;\;x_{0}=\frac{kh+\beta g}{\alpha\beta-k\ell},\;\;\;\;\;y_{0}=\frac{\ell g+\alpha h}{\alpha\beta-k\ell}\;.
Osnovnu definiciju stabilnosti uvest ćemo za proizvoljno rješenje (ne nužno ravnotežno) autonomnog sustava
(5)
\frac{d\textbf{x}}{dt}=\textbf{f}(\textbf{x})\;,\;\;\;\;\;\;\;\textbf{f}:\Omega\subset\textbf{R}^{n}\to\textbf{R}^{n}\;.
Definicija 3. Kažemo da je rješenje \textbf{x}^{*}=(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{n}^{*}) sustava (5 ) stabilno ako za svaki \varepsilon\gt 0 postoji \delta\gt 0 tako da za svako rješenje \textbf{x}=(x_{1},x_{2},...,x_{n}) sustava koje u početnom trenutku zadovoljava
|x_{i}(0)-x_{i}^{*}(0)|\lt \delta\;,\;\;\;\;i=1,...,n
vrijedi
|x_{i}(t)-x_{i}^{*}(t)|\lt \varepsilon\;,\;\;\;\;\;t\gt 0,\;\;\;\;i=1,...,n\;.
U slučaju linearnog autonomnog sustava oblika
(6)
\frac{d\textbf{x}}{dt}=\textbf{A}\textbf{x}\;,\;\;\;\;\;\textbf{A}\in\textbf{M}_{n}(\textbf{R})\;,
Teorem 4. Neka je \textbf{A}\in\textbf{M}_{n}(\textbf{R}) i \sigma(\textbf{A}) njen spektar. Tada je svako rješenje linearnog sustava (6 ) stabilno ako i samo ako vrijedi
pri čemu je a_{\lambda} algebarska, a g_{\lambda} geometrijska kratnost svojstvene vrijednosti \lambda.
(7)
\begin{align} (\forall \lambda\in\sigma(\textbf{A}))\;\;\;\;\;\;\;&\text{Re}\;\lambda\leq 0\;\;\;\;\& \\ & \text{Re}\;\lambda=0\;\;\Rightarrow\;\;a_{\lambda}=g_{\lambda}, \end{align}
Koristeći se ovim teoremom, ispitajmo sada stabilnost rješenja (
\textbf{z}=\textbf{w}-\textbf{w}_{0}
kao razliku između proizvoljnog i ravnotežnog rješenja. Tada slijedi
(8)
\frac{d\textbf{z}}{dt}=\frac{d\textbf{w}}{dt}=\textbf{A}\textbf{w}+\textbf{b}=\textbf{A}(\textbf{z}+\textbf{w}_{0})+\textbf{b}=\textbf{A}\textbf{z}+\textbf{A}\textbf{w}_{0}+\textbf{b}=\textbf{A}\textbf{z}.
Odredimo sada karakteristični polinom matrice \textbf{A}:
\begin{align*} k_{\textbf{A}}(\lambda)=\text{det}\;(\textbf{A}-\lambda\textbf{I})&=\text{det}\;\begin{bmatrix} -\alpha-\lambda & k\\ \ell & -\beta-\lambda\\ \end{bmatrix}\\ &=\lambda^{2}+(\alpha+\beta)\lambda+\alpha\beta-k\ell\;. \end{align*}
Svojstvene vrijednosti matrice \textbf{A} računamo kao nultočke polinoma k_{\textbf{A}} i dane su sa
(9)
\lambda_{1,2}=\frac{-(\alpha+\beta)\pm \sqrt{(\alpha-\beta)^{2}+4k\ell}}{2}\;.
(\alpha+\beta)\gt \sqrt{(\alpha-\beta)^{2}+4k\ell}
tj.
\alpha\beta-k\ell\gt 0\;.
Uzimajući u obzir Teorem Napomena 5. Procjena parametara modela \alpha, \beta, k, \ell, g i h nije nimalo lak zadatak. Jasno je da animozitete g i h nije moguće ocijeniti. No, budući da uvjet stabilnosti ne ovisi o g i h, dovoljno je na neki način procijeniti preostale parametre. Primijetimo da su ti parametri obrnuto proporcionalni vremenu te ih stoga možemo izraziti s pomoću mjerne jedinice (godina)^{-1}. Richardson u svom radu parametar \alpha^{-1} (odn. \beta^{-1}) procjenjuje kao duljinu mandata parlamenta države X (odn. Y) dok za k (odn. \ell) pretpostavlja da je proporcionalan jačini industrije koje država X (odn. Y) posjeduje.
Primjer 6. Usporedimo sada naš model sa stvarnim događanjima u Europi u razdoblju od 1909. – 1914., uoči Prvog svjetskog rata. Označimo s X i Y dva saveza: X – Rusija, Francuska i Velika Britanija, Y – Njemačka i Austro-Ugarska. S obzirom na to da su ta dva saveza bila približno jednakih snaga, možemo uzeti da je k=\ell. Richardson dolazi do ocjene k=0.3(godina)^{-1} u slučaju Njemačke, pa budući da su oba saveza približno tri puta veća u odnosu na Njemačku, stavimo k=\ell=0.9. S druge strane, budući da duljina mandata parlamenata država koje sudjeluju u savezu iznosi prosječno 5 godina, uzimamo \alpha=\beta=0.2. Dakle, jednadžbe modela glase
Sustav (10 ) ima jedinstveno ravnotežno stanje dano s
(10)
\begin{eqnarray} &&\frac{dx}{dt}=-\alpha x+ky+g\;,\;\;\;\;\;\;\;\frac{dy}{dt}=k x-\alpha y+h\;. \end{eqnarray}
x_{0}=\frac{kh+\alpha g}{\alpha^{2}-k^{2}}\;,\;\;\;\;\;y_{0}=\frac{kg+\alpha h}{\alpha^{2}-k^{2}}
koje nije stabilno s obzirom na to da je
\alpha\beta-k\ell=\alpha^{2}-k^{2}=0.04-0.81=-0.77\lt 0\;.
To je, naravno, u skladu s povijesnom činjenicom da su ova dva saveza na kraju ušla u sukob i tako otpočela Prvi svjetski rat.Bibliografija
1Detaljan prikaz života i djela Lewisa Frya Richardsona moguće je pronaći na internetskoj stranici http://maths.paisley.ac.uk/LfR/home.htm
2Na desnim stranama u jednadžbama ne pojavljuje se varijabla t.
3Ravnotežno stanje je rješenje polaznog sustava koje ne ovisi o vremenu, tj. za koje vrijedi \frac{d\textbf{x}}{dt}\equiv 0. Prema tome, \textbf{x^{*}} će biti ravnotežno stanje sustava \frac{d\textbf{x}}{dt}=\textbf{f}(\textbf{x}) ako i samo ako je \textbf{f}(\textbf{x}^{*})\equiv 0.
