Arbelos ili postolarov nož je lik omeđen trima međusobno tangentnim polukružnicama s kolinearnim središtima. Tim su se likom bavili starogrčki matematičari Arhimed i Pappus Aleksandrijski. Arhimed je unutar arbelosa uočio dvije istaknute kružnice jednakog radijusa, koje je spomenuo i u svojoj ”Knjizi Lema”, dok je Pappus zaključio da je arbelos ispunjen tangentnim kružnicama. Njihov je rad, nakon gotovo dvije tisuće godina, obradio i popularizirao Leon Bankoff, uvodenjem nekoliko novih sličnih kružnica.

U ovom radu opisat ćemo osnovna geometrijska svojstva arbelosa i kružnica koje su proučavali Arhimed i Pappus. Također, iskoristit ćemo prednosti elektroničkog formata tako što ćemo u 4. poglavlju konstrukcije nekih kružnica prikazati dinamički. U tu svrhu bit će potrebno instalirati i pokrenuti programski paket Java 1.4.2. (ili kasniju inačicu).

Započnimo s formalnom definicijom arbelosa.

Slika 1. Arbelos.

Polukružnice ćemo označavati s $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ kao na slici 1, njihove radijuse s $r_1$, $r_2$ i $r$, a dijametre s $d_1$, $d_2$ i $d$. Središta polukružnica $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ označavat ćemo s $O_1$, $O_2$ i $O$, a pravac na kojem se nalaze središta s $AB$, gdje je točka $A$ presjecište tog pravca i polukružnice $\alpha$, a točka $B$ presjecište tog pravca i polukružnice $\beta$. Točkom $C$ označavat ćemo zajedničko presjecište polukružnica $\alpha$ i $\beta$ i pravca $AB$.

Često ćemo spominjati različite kružnice pa ćemo u tu svrhu kružnicu sa središtem u točki $S$ označavati sa $(S)$, a kružnicu sa središtem u točki $S$ i radijusom $|ST|$ označavati ćemo sa $S(T)$. Analogno ćemo označavati i različite polukružnice.

Krenimo od osnovnih, ali ne i očiglednih svojstava arbelosa.

Napomenimo da je tvrdnja b) propozicije 1 poznata kao propozicija 4 u Arhimedovoj "Knjizi Lema".

Uz pomoć arbelosa možemo vizualno predočiti nejednakosti harmonijske, geometrijske, aritmetičke i kvadratne sredine za dvije veličine. U tu svrhu dokazujemo sljedeću propoziciju:

Prvih nekoliko svojstava pokazuje da je doista riječ o zanimljivom liku, što za američkog matematičara C. Dodgea nije ništa čudno jer je arbelos, pored svega, trokut kojemu su stranice polukružnice ([2]). O još nekim svojstvima arbelosa, koja se mogu dokazati elementarnom geometrijom, možete pročitati u [3]. No ipak, najviše zanimanja za arbelos nisu potaknula ova prethodna svojstva, već svojstva kružnica koje je Arhimed primijetio i zabilježio u svojoj ”Knjizi Lema”. To su tzv. Arhimedove kružnice (u literaturi se ponekad navode i kao ”magične kružnice”).

Vjeruje se da je Arhimed prvi matematičar koji je proučavao arbelos. On je unutar arbelosa prepoznao dvije kružnice koje je smatrao specifičnima zbog toga što uz jednake radijuse, obje diraju dva luka arbelosa i pravac $CD$. Te dvije spomenute kružnice često se nazivaju Arhimedovim blizancima, očigledno zbog jednakog radijusa, koji ćemo odrediti u sljedećem teoremu.

Slika 4.Skica uz dokaz teorema 1.

Od vremena Arhimeda pa sve do posljednje četvrtine 20. stoljeća proučavanje Arhimedovih blizanaca nije zaokupljalo pozornost matematičara. Godine 1974. Leon Bankoff, američki zubar i matematičar amater, pokazao je da Arhimedovi blizanci nisu samo blizanci, već da postoji i treća kružnica radijusa $\frac{r_1 r_2}{r}$ koja je nekim karakterističnim svojstvom vezana uz arbelos. Njegov rad potaknuo je niz matematičara, među kojima su Z. Čerin, C. Dodge, F. van Lamoen, H. Okumura, M. Watanabe, P.Y. Woo, P. Yiu i drugi, da pronađu druge kružnice radijusa $\frac{r_1 r_2}{r}$ koje su na neki način vezane uz arbelos. Takve kružnice nazivamo Arhimedovim kružnicama. Definirajmo ih formalnije:

Pored Arhimedovih blizanaca, treća Arhimedova kružnica, koju je otkrio Bankoff, usko je vezana uz kružnicu koja dira sva tri luka arbelosa, tzv. arbelosu upisana kružnica. Arbelosu upisanu kružnicu označavat ćemo s $(O_3)$, a njeno središte s $O_3$. Treća Arhimedova, odnosno prva Bankoffova kružnica prolazi točkom $C$ i diralištima $M$ i $N$ kružnice $(O_3)$ s lukovima $\alpha$ i $\beta$ (vidi sliku 5.).

Dokaz da je zbilja riječ o Arhimedovoj kružnici slijedi iz Pitagorina poučka i Heronove formule, a detalje prepuštamo čitatelju (ili vidi [3]).

Pored prethodne kružnice, Bankoff je otkrio još jednu Arhimedovu kružnicu: označimo s $EF$ zajedničku tangentu polukružnica $\alpha$ i $\beta$, gdje je točka $E$ diralište polukružnice $\alpha$ i tangente $EF$, a točka $F$ diralište polukružnice $\beta$ i tangente $EF$. Tada kružnica, koja iznutra dira polukružnicu $\gamma$ i pravac $EF$, ima radijus $p$. Štoviše, ta kružnica dira polukružnicu $\gamma$ u točki $D$ i to je najmanja kružnica koja prolazi kroz točku $D$ i dira pravac $EF$.

Dokaz da je riječ o Arhimedovoj kružnici ponovo prepuštamo čitatelju (ili vidi [3]).

Od Bankoffova otkrića treće i četvrte Arhimedove kružnice pa sve do danas otkriveno je više od pedeset novih Arhimedovih kružnica, a H. Okumura i M. Watanabe otkrili su i nekoliko beskonačnih familija Arhimedovih kružnica. O tim kružnicama možete čitati u [2], [3], [4] i [5]. Dostupan je i online katalog Arhimedovih kružnica.

Osim Arhimedovih kružnica uz arbelos vezana je još jedna familija kružnica, tzv. Pappusov lanac kružnica (vidi sliku 7.). Pappusov lanac kružnica formira se na sljedeći način: najprije konstruiramo arbelosu upisanu kružnicu koju ćemo označiti s $(P_1)$. Zatim konstruiramo kružnicu $(P_2)$ koja dira lukove $\alpha$ i $\gamma$ i kružnicu $(P_1)$. Analogno konstruiramo svaku iduću kružnicu $(P_n)$ u lancu.

Slika 7. Pappusov lanac kružnica.

Pappusov lanac kružnica nazvan je prema starogrčkom matematičaru Pappusu Aleksandrijskom. On je dokazao teorem uz pomoć kojeg se može odrediti ordinata središta kružnica u Pappusovu lancu kružnica:

Suvremeni dokaz teorema 2. provodi se inverzijom pa se često postavlja pitanje kako je Pappus dokazao taj teorem kada je tehnika inverzije uvedena tek u 19. stoljeću. Za više informacija i odgovor na to pitanje, korisno je proučiti članak [1]. Dokaz primjenom inverzije možete proučiti u [3].

Pappus je pokazao i da se središta kružnica u lancu nalaze na elipsi.

Slika 8. Središta kružnica u lancu nalaze se na elipsi.

Konstruirajmo arbelos u kojem su radijusi polukružnica $\alpha$ i $\beta$ jednaki i upišimo mu Pappusov lanac kružnica. Konstruirajmo dva kružna luka radijusa $|AC|$ tako da je središte jednog luka u točki $A$, a središte drugog luka u točki $C$. Novonastala figura je gotički luk, jedan od motiva u gotičkoj arhitekturi.

Slika 9. Gotički luk.

U ovom poglavlju opisat ćemo geometrijske konstrukcije Arhimedovih blizanaca, arbelosu upisane kružnice i Pappusova lanca kružnica. Dokaze nećemo provoditi; dokaze čitatelji mogu provesti za vježbu ili pogledati u [3].