Marijo Alilović, Miljenko Huzak |
U spomen na docenta Antu Mimicu |
Sažetak
U ovom radu pomoću dualnih vremena zaustavljanja dokazana je Wiener-Hopfova faktorizacija slučajne šetnje na
R te je primijenjena u dokazu Baxterovih jednakosti.
Uvod
Osnovni matematički objekt koji ćemo proučavati je slučajna šetnja na R. Neka je {Xn:n≥1} niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli definiranih na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F,P). Tada za slučajni proces {Sn:n≥0} definiran sa:
S0=0,Sn=X1+...+Xnn≥1,
kažemo da je slučajna šetnja na R. Neka je:
N1=inf{n≥1:Sn>0}, uz dogovor inf∅=∞.
N1 je prvi trenutak u kojem je vrijednost slučajne šetnje strogo pozitivna, a SN1 je vrijednost slučajne šetnje u trenutku N1. Ako stavimo N0=0 tada N1 možemo promatrati kao prvo vrijeme u kojem je prirast slučajne šetnje strogo pozitivan od trenutka N0, tj:
N1=inf{n>N0:Sn−SN0=XN0+1+XN0+2+...+Xn>0}.
Kao interesantno pitanje vezano za slučajnu šetnju nameće se pitanje distribucije slučajnog vektora (N1−N0,SN1−SN0). Nadalje, na izmjerivom prostoru:
(Ω∩{N1<∞},F∩{N1<∞})
možemo definirati:
N2=inf{n>N1:Sn>SN1}, uz dogovor inf∅=∞.
N2 je prvi trenutak od trenutka N1 u kojem je prirast slučajnoj šetnji strogo pozitivan, a SN2−SN1 je prirast slučajne šetnje od trenutka N1 do trenutka N2. Ponovno kao interesantno pitanje nameće se poznavanje distribucije slučajnog vektora (N2−N1,SN2−SN1). Potpuno analogno na izmjerivom prostoru:
(Ω∩(∩k−1i=1{Ni<∞}),F∩(∩k−1i=1{Ni<∞}))
možemo definirati Nk=inf{n>Nk−1:Sn>SNk−1}, uz dogovor inf∅=∞, k≥1.
Nk je prvo vrijeme od trenutka Nk−1 u kojem je prirast slučajnoj šetnji strogo pozitivan, a SNk−SNk−1 je prirast slučajne šetnje od trenutka Nk−1 do trenutka Nk. Zanima nas distribucija slučajnog vektora (Nk−Nk−1,SNk−SNk−1). Pokazat ćemo da za n∈N na vjerojatnosnom prostoru:
(Ω∩(∩ni=1{Ni<∞}),F∩(∩ni=1{Ni<∞}),P(⋅|{∩ni=1{Ni<∞}))
vrijedi:
(Nk−Nk−1,SNk−SNk−1)D=(N1,SN1),k≤n
pa pitanje distribucije slučajnog vektora (N1,SN1) postaje jedno od najvažnijih pitanja vezanih za slučajnu šetnju. Glavni rezultat koji vodi ka određivanju distribucije slučajnog vektora (N1,SN1) je Baxterov teorem u čijem dokazu ključnu ulogu igra Wiener-Hopfova faktorizacija.
1Konvolucija
Definicija 1. Neka su
μ i
νσ-konačne mjere na
(R,B). Tada definiramo konvoluciju mjera
μ i
ν na sljedeći način:
(1)
(μ∗ν)(A):=∫x+y∈Ad(μ×ν)(x,y),A∈B.
Budući da su mjere σ-konačne, iz definicije konvolucije primjenom Fubinijevog teorema odmah slijedi:
(2)
(μ∗ν)(A)=∫Rμ(A−y)dν(y),A∈B.
Iz (2) koristeći Beppo-Levijev teorem i σ-aditivnost mjere μ pokaže se da je konvolucija μ∗ν mjera na (R,B). Također, σ-konačnost, odnosno konačnost mjera μ i ν povlači σ-konačnost, odnosno konačnost mjere μ∗ν.
Definirajmo funkciju Δ:B→R na sljedeći način:
(3)
Δ(A):={1, 0∈A0, 0∉A,A∈B.
Sa (3) definirana je mjera na B. Za konačnu mjeru χ na izmjerivom prostoru (R,B) definiramo Fourierovu transformaciju od χ kao kompleksnu funkciju realne varijable:
(4)
ˆχ(ζ):=∫Reiζxdχ(x),ζ∈R.
Teorem 2. Neka su
μ,
ν i
λσ-konačne te
χ i
ψ konačne mjere na
(R,B). Neka je
f Borelova funkcija. Tada vrijedi:
(1) |
Δ∗μ=μ |
(2) |
μ∗ν=ν∗μ |
(3) |
(μ+ν)∗λ=μ∗λ+μ∗λ |
(4) |
(μ∗ν)∗λ=μ∗(ν∗λ) |
(5) |
^χ∗ψ=ˆχˆψ |
Definicija 3. Neka su
μ1,μ2,ν1,ν2 konačne mjere na
(R,B). Stavimo,
α=μ1−ν1 i
β=μ2−ν2. Definiramo konvoluciju realnih mjera
α i
β na sljedeći način:
(5)
α∗β=(μ1−ν1)∗(μ2−ν2):=μ1∗μ2−μ1∗ν2−ν1∗μ2+ν1∗ν2.
Konačnost mjera u definiciji je bitna jer izraz ∞−∞ nije definiran.
Za α=μ−ν, gdje su μ i ν konačne mjere na (R,B), definiramo:
gdje je f Borelova funkcija integrabilna u odnosu na μ i ν. Iz (4) i (6) slijedi:
(7)
ˆα(ζ)=ˆμ(ζ)−ˆν(ζ),ζ∈R.
Lebesgueovom indukcijom pokaže se da je integral u odnosu na zbroj mjera jednak zbroju integrala, tj.:
(8)
∫Rfd(μ+ν)=∫Rfdμ+∫Rfdν,
u smislu da ako jedan od integrala postoji, tada postoji i drugi te su jednaki.
Teorem 4. Neka su
μ1,μ2,μ3,ν1,ν2,ν3 konačne mjere na
(R,B). Definiramo
α=μ1−ν1,
β=μ2−ν2 te
γ=μ3−ν3. Tada vrijedi:
a
(1) |
α∗β=β∗α |
(2) |
(α+β)∗γ=α∗γ+α∗γ |
(3) |
(α∗β)∗γ=α∗(β∗γ) |
(4) |
^α∗β=ˆαˆβ |
Ako je funkcija F:R→R monotono rastuća te neprekidna zdesna tada postoji jedinstvena Lebesgue-Stieltjesova mjera μF na B takva da vrijedi:
(9)
μF((a,b])=F(b)−F(a),a,b∈R,a<b.
Relacija (9) opravdava izraze oblika: F generira mjeru μF. Integriranje na prostoru mjere (R,B,μF) integrabilne Borelove funkcije f često označujemo ∫RfdF, a oznaku interpretiramo na sljedeći način:
Neka je funkcija F:R→R ograničena, rastuća i neprekidna zdesna. Tada definiramo:
Definicija 5. Neka su funkcije
F,G:R→R ograničene, rastuće i neprekidne zdesna. Tada definiramo konvoluciju od
F i
G, u oznaci
F∗G, na sljedeći način:
(12)
(F∗G)(x):=(μF∗μG)((−∞,x])=∫RF(x−y)dG(y),x∈R,
gdje je mjera
μF inducirana sa
F te mjera
μG inducirana sa
G u smislu relacije
(9).
Pokaže se da je funkcija F∗G nenegativna, ograničena, rastuća i neprekidna zdesna te stoga generira mjeru μF∗G, a zbog relacije (12) slijedi μF∗G=μF∗μG. Također, zbog relacije (12), svojstva konvolucije mjera iz teorema 2 preslikavaju se na svojstva konvolucije rastućih i zdesna neprekidnih funkcija. Ulogu neutralnog elementa ima funkcija koju generira mjera Δ, a to je funkcija FΔ=1[0,∞). Funkciju FΔ označavamo sa δ.
Definicija 6. Neka su funkcije
F1,F2,G1,G2:R→R ograničene, rastuće i neprekidne zdesna. Definiramo:
(13)
(F1−G1)∗(F2−G2):=F1∗F2−F1∗G2−G1∗F2+G1∗F2.
Zbog relacije (13), svojstva konvolucije iz teorema 4 preslikavaju se na svojstva operacije definirane sa (13). Neka su X i Y nezavisne slučajne varijable sa funkcijama distribucije F i G. Iz Fubinijevog teorema i (10) slijedi:
(14)
FX+Y(t)=P{X+Y≤t}=∫Ω1{X+Y≤t}dP=∫x+y≤tdP(X,Y)(x,y)=∫R∫R1{x+y≤t}dPX(x)dPY(y)=∫R∫t−y−∞dPX(x)dPY(y)=∫∞−∞F(t−y)dG(y)=(F∗G)(t),t∈R.
Dakle, konvolucija funkcija distribucije je funkcija distribucije zbroja dviju nezavisnih slučajnih varijabli kojima su faktori konvolucije funkcije distribucije. Induktivno se ta tvrdnja može generalizirati.
Korolar 7. Ako su
X1,...,Xn nezavisne slučajne varijable s funkcijama distribucije
F1,...,Fn, tada je:
Neka je F funkcija distribucije. Zbog korolara 7 dobro je definirano potenciranje:
(16)
F0∗=δ,Fn∗=F(n−1)∗∗F,n∈N.
Korolar 8. Ako su
X1,...,Xn nezavisne i jednako distribuirane slučajne varijable s distribucijom
F, tada je:
Propozicija 9. Neka je
F funkcija distribucije. Za svaki
n∈N vrijedi:
Dokaz. Neka su
X1,...,Xn nezavisne i jednako distribuirane slučajne varijable s funkcijom distribucije
F. Tada je:
ˆF(ζ)n=(∫ReiζxdF(x))n=E[eiζX1]n.
Iz korolara
8 slijedi:
^Fn∗(ζ)=∫ReiζxdFn∗(x)=E[eiζ(X1+...+Xn)]=E[eiζX1]n.
◼
Neka je funkcija F:R→R rastuća i neprekidna zdesna te neka je μF pripadna generirana mjera. Neka je q>0. Budući da je μqF=qμF, Lebesgueovom indukcijom pokaže se da za Borelovu funkciju f vrijedi:
u smislu da ako jedan od integrala u (19) postoji da tada postoji i drugi te da su jednaki. Jednakost (19) pomoću (10) možemo zapisati na sljedeći način:
Iz (20) slijedi:
Propozicija 10. Neka je
F funkcija distribucije te
q∈(0,1). Tada vrijedi:
(22)
(∞∑n=0qnFn∗)∗(δ−qF)=δ.
Dokaz. Vrijedi:
∞∑n=0qnFn∗=δ+∞∑n=1qnFn∗.
Za dokaz jednakosti
(22) dovoljno je dokazati:
(23)
∞∑n=1qnFn∗=(∞∑n=0qnFn∗)∗qF.
Iz Beppo-Levijevog teorema, relacije
(20) te
(16) slijedi:
[(∞∑n=0qnFn∗)∗qF](x)=∫R∞∑n=0qnFn∗(x−y)d(qF)(y)=∞∑n=0qn∫RFn∗(x−y)d(qF)(y)=∞∑n=0qn+1∫RFn∗(x−y)dF(y)=∞∑n=0qn+1F(n+1)∗(x)=(∞∑n=1qnFn∗)(x),x∈R.
◼
Neka je {μn:n≥1} niz mjera na (R,B). Definiramo:
(24)
μ(A)=∞∑n=1μn(A),A∈B.
Može se pokazati da je sa (24) zadana mjera na izmjerivom prostoru (R,B). Sljedeća propozicija je generalizacija tvrdnje (8).
Propozicija 11. Neka je
f Borelova funkcija. Tada vrijedi:
(25)
∫Rfd(∞∑n=1μn)=∞∑n=1∫Rfμn,
u smislu, da ako jedan integral u
(25) postoji da tada postoji i drugi te da su jednaki.
Neka je {Fn:n≥1} niz rastućih funkcija koje su neprekidne zdesna. Neka je {qn:n≥1} niz nenegativnih realnih brojeva. Za svaki n∈N sa μFn označimo pripadnu generiranu mjeru. Može se pokazati da je funkcija ∑∞n=1qnFn rastuća te neprekidna zdesna pa stoga generira pripadnu mjeru μ∑∞n=1qnFn. Također, može se pokazati:
(26)
μ∑∞n=1qnFn=∞∑n=1qnμFn.
Iz (20), (25) te (26) slijedi:
(27)
∫Rfd(∞∑n=1qnFn)=∫Rfdμ∑∞n=1qnFn=∫Rfd(∞∑n=1qnμFn)=∞∑n=1qn∫RfdμFn=∞∑n=1qn∫RfdFn.
2Vremena zaustavljanja
2.1Niz iteracija
Definicija 12. Neka je (Ω,F) izmjerivi prostor. Familija F={Fn:n≥1}σ - podalgebri od F takvih da je Fn⊂Fn+1 za svaki n≥0 zove se filtracija.
Definicija 13. Neka je
(Ω,F) izmjerivi prostor s filtracijom
F. Za slučajnu varijablu
α:Ω→N∪{∞} kažemo da je vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju
F ako vrijedi:
(28)
{α=n}∈Fn, za sve n≥1.
Neka je {Xn:n≥1} niz slučajnih varijabli na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F,P). Neka je α konačno vrijeme zaustavljanja (P{α<∞}=1) obzirom na filtraciju {Fn:=σ(X1,...,Xn):n≥1}. Budući da je Fn=(X1,...,Xn)−1(Bn), za svaki n∈N postoji Bn∈Bn takav da vrijedi:
(29)
{α=n}={(X1,...,Xn)∈Bn}.
Definiramo: α(0)=0, α(1)=α, β(1)=α(1). Neka je α(2) neka slučajna varijabla definirana na izmjerivom prostoru (Ω,F) sa svojstvom:
{α(2)=n}={(Xβ(1)+1,...,Xβ(1)+n)∈Bn},n≥1.
Definiramo: β(2):=β(1)+α(2). Za k≥1 i zadano β(k): neka je α(k+1) neka slučajna varijabla definirana na izmjerivom prostoru (Ω,F) sa svojstvom:
(30)
{α(k+1)=n}={(Xβ(k)+1,...,Xβ(k)+n)∈Bn},n,k≥1.
Definiramo: β(k+1):=β(k)+α(k+1). Slijedi: β(k)=α(1)+...+α(k), k≥1, uz dogovor β(0)=0.
Definicija 14. Niz slučajnih varijabli {β(n):n≥0} zovemo niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja α.
U uvodu smo na izmjerivom prostoru (Ω∩(∩k−1i=1{Ni<∞}),F∩(∩k−1i=1{Ni<∞})) definirali:
Nk=inf{n>Nk−1:Sn>SNk−1},k≥1, uz dogovor inf∅=∞ i N0:=0,
gdje je:
N1≡N:=inf{n>0:Sn>0}.
Budući da je:
(31)
{N=n}={X1≤0,...,X1+...+Xn−1≤0,X1+...+Xn>0},
slijedi da je N vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju {Fn=σ(X1,...,Xn),n∈N} pa postoji Bn∈Bn takav da je:
(32)
{N=n}={(X1,...,Xn)∈Bn},n∈N.
Iz (31) i (32) slijedi:
(33)
{X1≤0,...,X1+...+Xn−1≤0,X1+...+Xn>0}={(X1,...,Xn)∈Bn}
za svaki n∈N. Iz (33) slijedi:
{Nk−Nk−1=n}={Nk=Nk−1+n}=∞⋃l=0{Nk−1=l,Nk=n+l}=∞⋃l=0{Nk−1=l,Xl+1≤0,...,Xl+1+...+Xl+n−1≤0,Xl+1+...+Xl+n>0}=∞⋃l=0{Nk−1=l,(Xl+1,...,Xl+n)∈Bn}={(XNk−1+1,...,XNk−1+n)∈Bn},n∈N.
Vidimo da slučajna varijabla Nk−Nk−1 zadovoljava jednakost (30) pa stoga slijedi da je niz slučajnih varijabli {Nk:k≥0} niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja N. Dakle, dokazali smo sljedeću lemu.
Lema 15. Niz slučajnih varijabli
{Nk:k≥0} je niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja
N.
Sljedeći teorem kaže da se niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli pomoću konačnog vremena zaustavljanja razlaže na nezavisne i jednako distribuirane slučajne elemente. Dokaz teorema može se pronaći u [1].
Teorem 16. Neka je
{Xn:n≥1} niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli na vjerojatnosnom prostoru
(Ω,F,P). Neka je
α konačno vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju
{σ(X1,...,Xn):n≥1}, a
{β(k):k≥0} niz iteracija generiran s
α. Tada su slučajni elementi:
{(β(k)−β(k−1),Xβ(k−1)+1,...,Xβ(k)):k≥1}
nezavisni i jednako distribuirani.
U slučaju da α nije gotovo sigurno konačno vrijeme zaustavljanja, tj. P{α=∞}>0, iz teorema 16 slijedi da su:
{(β(k)−β(k−1),Xβ(k−1)+1,...,Xβ(k)):k≤n}
nezavisni i jednako distribuirani slučajni elementi na vjerojatnosnom prostoru:
({β(n)<∞},F∩{β(n)<∞},P(⋅|{β(n)<∞}))
Posljedice teorema 16 su značajne, a iznosimo ih u sljedeća tri korolara čiji dokazi se mogu pronaći u [1].
Korolar 17. Slučajni
2-dimenzionalni vektori
{(β(k)−β(k−1),Sβ(k)−Sβ(k−1)):k≥1}
su nezavisni i jednako distribuirani.
Korolar 18. Neka je
φ:R→R Borelova funkcija. Tada je:
{Yk:=β(k)∑β(k−1)+1φ(Xn):k≥1}
niz nezavisnih i jednako distriburianih slučajnih varijabli.
Korolar 19. Vrijede sljedeće tvrdnje:[label={(\roman*)}]
(1) |
{β(k)−β(k−1):k≥1} je niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli. |
(2) |
{Sβ(k)−Sβ(k−1)=Xβ(k−1)+1+...+Xβ(k):k≥1} je niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli (S0=0). |
(3) |
{β(k):k≥0} je proces obnavljanja. |
2.2Dualna vremena zaustavljanja
Neka je H={Xn:n≥1} slučajan proces, gdje je {Xn:n≥1} niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli definiranih na vjerojatnosnom prostoru (R∞,B∞,P). Ovdje su:
P(A)≡P{H∈A},A∈B∞,Xn(x1,x2,...)=xn,(x1,x2,...)∈R∞,n∈N.
Neka je α vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju {Fn:=σ(X1,...,Xn):n≥1}. Neka je {β(n):n≥0} pripadni niz iteracija. Definiramo:
(34)
Mα(ω):={β(n)(ω):n≥0},ω∈R∞.
Mα zovemo slučajni skup niza iteracija generiranog vremenom zaustavljanja α, a Mα(ω) nije ništa drugo nego vrijednosti niza iteracija {β(n):n≥0} izračunatih u ω. Definirajmo preslikavanja rn:R∞→R∞ za n∈N na sljedeći način:
(35)
rn(x1,x2,...,xn,xn+1,...)=(xn,xn−1,...,x1,xn+1,...),(x1,x2,...)∈R∞.
Definicija 20. Neka su
τ i
η vremena zaustavljanja obzirom na filtraciju
{Fn:n≥1}. Za vrijeme zaustavljanja
τ kažemo da je dualno za
η ako za svaki
n∈N vrijedi:
(36)
{ω:n∈Mτ(ω)}={ω:n<η∘rn(ω)}.
Neka je ω fiksirana točka. Tada je n vrijednost neke varijable niza iteracija generiranog vremenom zaustavljanja τ izračunate u točki ω ako i samo ako gledajući prvih n trenutaka promatranog procesa unatrag (obzirom na točku ω) ne opažamo fenomen kojeg prati vrijeme zaustavljanja η.
Budući da je definicija dualnosti komplicirana, od izuzetne je važnosti naći neku jednostavniju karakterizaciju. U tu svrhu za fiksni n∈N definiramo:
(37)
L(τ,n)(ω):=max{i≤n:i∈Mτ(ω)}.
Iz korolara 19 slijedi da je niz iteracija proces obnavljanja pa L(τ,n) možemo promatrati kao vrijeme početka zadnjeg obnavljanja do trenutka n koje nije završilo.
Sljedeći teorem daje jednostavniju karakterizaciju dualnosti i ključan je za daljnja razmatranja. Dokaz teorema moguće je pronaći u [2].
Teorem 21. Neka su
τ i
η vremena zaustavljanja obzirom na filtraciju
{Fn:n≥1}. Tada je
τ dualno za
η ako i samo ako vrijedi:
(38)
n−L(τ,n)=L(η,n)∘rn,∀n∈N.
Prva značajna i pomalo neočekivana posljedica teorema 21 kaže da je definicija dualnosti simetrična.
Korolar 22. Ako je
τ dualno vrijeme zaustavljanja za
η tada je i
η dualno vrijeme zaustavljanja za
τ.
Dokaz. Iz teorema
21 i
rn−1=rn,
n∈N, slijedi:
τ je dualno za η⟺n−L(τ,n)=L(η,n)∘rn,n∈N⟺n−L(τ,n)∘rn=L(η,n),n∈N⟺n−L(η,n)=L(τ,n)∘rn,n∈N⟺η je dualno za τ.
◼
Iz nezavisnost i jednake distribuiranosti varijabli {Xn:n≥1} slijedi:
Iz relacije (39) dobivamo:
Direktna posljedica teorema 21 i jednakosti (40) je sljedeći korolar.
Korolar 23. Neka su
τ i
η dualna vremena zaustavljanja. Za svaki
n∈N vrijedi:
Lema 24. Neka su
τ i
η dualna vremena zaustavljanja. Za svaki
n∈N vrijedi:
(42)
L(τ,n)∑i=1XiD=n∑i=L(η,n)+1Xi.
Dokaz. Neka je
n∈N fiksan. Iz relacije
(40) i teorema
21 slijedi:
(43)
L(τ,n)∑i=1XiD=(L(τ,n)∑i=1Xi)∘rn=L(τ,n)∘rn∑i=1Xi∘rn=n−L(η,n)∑i=1Xi∘rn.
Budući da za
i=1,...,n vrijedi
Xi∘rn=Xn−i+1, iz
(43) slijedi:
(44)
n−L(η,n)∑i=1Xi∘rn=n−L(η,n)∑i=1Xn−i+1=n∑i=L(η,n)+1Xi.
Iz
(43) i
(44) slijedi tvrdnja leme.
◼
Propozicija 25. Neka su
τ i
η dualna vremena zaustavljanja. Tada za
u∈(0,1) vrijedi:
(45)
∞∑n=0unP{τ>n}=∞∑n=0E[uη]n,
odnosno:
(46)
1−E[uτ]1−u=11−E[uη].
Dokaz.
Iz relacije
(40) slijedi:
(47)
∞∑n=0unP{τ>n}=∞∑n=0unP{r−1n(τ−1((n,∞)))}=∞∑n=0unP{τ∘rn>n}
Iz
(36) te korolara
22 slijedi:
(48)
∞∑n=0unP{τ∘rn>n}=∞∑n=0unP{n∈Mη}.
Budući da je
u∈(0,1), za proizvoljno vrijeme zaustavljanja
κ vrijedi:
(49)
E[uκ]=∞∑n=0unP{κ=n}+u∞P{κ=∞}=∞∑n=0unP{κ=n}.
Definirajmo funkcije
fn na
N0 na sljedeći način:
fn(k):=unP{ηk=n},k,n∈N0,
gdje je
{ηk:k∈N0} proces iteracija generiran vremenom zaustavljanja
η. Neka je
ν brojeća mjera na
(N0,P(N0)). Koristeći Beppo-Levijev teorem, definicijsko svojstvo niza iteracija primijenjeno na
{ηn:n≥0}, korolar
19 (da su
αn:=ηn−ηn−1,
n≥1, nezavisne i jednako distribuirane) te relaciju
(49) raspišimo
(48):
(50)
∞∑n=0unP{τ∘rn>n}=∞∑n=0unP{n∈Mη}=∞∑n=0unP(∞⋃k=0{ηk=n})=∞∑n=0un∞∑k=0P{ηk=n}=∞∑n=0∫N0fndν=∫N0∞∑n=0fndν=∞∑k=0∞∑n=0fn(k)=∞∑k=0E[uηk]=∞∑k=0E[uα1+...+αk]=∞∑k=0E[uη]k.
Iz
(17) i
(20) slijedi tvrdnja
(45). Budući da je
u∈(0,1) slijedi
1−uη>0. Dakle, vrijedi
E[uη]∈(0,1). Slijedi:
(51)
∞∑n=0E[uη]n=11−E[uη].
Stavimo:
pk=P{τ=k},
k∈N0. Definirajmo nove funkcije
fn na
N0 na sljedeći način:
fn(k):={unpk,k≤n0,k>nk∈N0.
Tada iz Beppo-Levijevog teorema i
(49) slijedi:
(52)
∞∑n=0unP{τ>n}=∞∑n=0un−∞∑n=0n∑k=0unpk=∞∑n=0un−∞∑n=0∫N0fndν=∞∑n=0un−∫N0∞∑n=0fndν=∞∑n=0un−∞∑k=0(∞∑n=0fn)(k)=∞∑n=0un−∞∑k=0∞∑n=kunpk=∞∑n=0un−∞∑k=0ukpk∞∑n=0un=11−u−(∞∑k=0ukpk)11−u=11−u(1−E[uτ]).
Iz
(45),
(51) i
(52) slijedi
(46).
◼
3Slučajna šetnja
Neka je {Xn:n≥1} nezavisan i jednako distribuiran niz slučajnih varijabli. Prisjetimo se da je sa S0=0, Sn=X1+...+Xn, n∈N, definiran slučajni proces kojeg zovemo slučajna šetnja. Slučajne varijable {Xn:n≥1} nazivamo koracima slučajne šetnje. Funkciju distribucije slučajne varijable X1 zovemo distribucijom koraka.
Definicija 26. Neka je
{Xn:n≥1} nezavisan i jednako distribuiran niz slučajnih varijabli. Definiramo:
(53)
N:=inf{n≥1:Sn>0}ˉN:=inf{n≥1:Sn≤0}.
N zovemo prvo striktno uzlazno vrijeme, a
ˉN prvo silazno vrijeme slučajne šetnje
{Sn:n≥0}.
Sa (53) definirana su vremena zaustavljanja obzirom na filtraciju {Fn:=σ(X1,...,Xn):n≥1}.
Slično kao što smo u lemi 15 pokazali da je niz slučajnih varijabli {Nk:k≥0} niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja N, može se pokazati i analogna tvrdnja za vrijeme zaustavljanja ˉN.
Lema 15 i korolar 17 opravdavaju sljedeću tvrdnju iz uvoda:
Teorem 27. Na vjerojatnosnom prostoru:
(Ω∩(∩ni=1{Ni<∞}),F∩(∩ni=1{Ni<∞}),P(⋅|{∩ni=1{Ni<∞}))
vrijedi:
(54)
(Nk−Nk−1,SNk−SNk−1)D=(N1,SN1),k≤n,n∈N.
Lema 28. N je dualno vrijeme zaustavljanja za
ˉN.
Dokaz.
Neka je
n fiksan prirodni broj te
ω0∈{ω:n∈MN(ω)}, slijedi:
n∈MN(ω0)⟺∃k∈N, n=Nk(ω0)⟺Sn(ω0)>Sj(ω0),j=0,1,...,n−1⟺Sn−j(rnω0)>0, j=0,1,...,n−1⟺Sj(rnω0)>0, j=1,2,...,n⟺n<ˉN∘rn(ω0)⟺ω0∈{ω:n<ˉN∘rn(ω)}
◼
4Wiener-Hopfova faktorizacija
Neka je (R∞,B∞,P′) vjerojastnosni prostor na kojemu je niz koordinatnih slučajnih varijabli {X′n:n≥1} nezavisan i jednako distribuiran. Neka je (Ω″ vjerojatnosni prostor induciran geometrijskom slučajnom varijablom T^{''} s parametrom p \in (0,1) tako da vrijedi : P\lbrace T \ge n \rbrace = q^{n}, q=1-p. Definiramo:
\begin{split} &(\Omega, \mathcal{F},P) := (\Omega^{'} \times \Omega{''}, \mathcal{F}^{'} \times \mathcal{F}^{''}, P^{'} \times P^{''}), \\ & X_{n}(\omega) = X_{n}(\omega^{'}, \omega^{''}) := X_{n}^{'}(\omega^{'}), \quad \omega \in \Omega, n \in \mathbb{N}, \\ & T(\omega) = T(\omega^{'}, \omega^{''}):= T^{''}(\omega^{''}), \quad \omega \in \Omega. \end{split}
Sljedeća lema je tehničkog karaktera, a njen dokaz može se pronaći u [1].
Lema 29. Neka su
Y_{1},...,Y_{n} nezavisne, jednako distribuirane, nenegativne cjelobrojne slučajne varijable nezavisne s geometrijskom slučajnom varijablom
Y. Tada vrijedi:
(55)
P\lbrace Y \ge Y_{1}+...+Y_{n}\rbrace = P\lbrace Y \ge Y_{1}\rbrace ^{n}.
Sljedeća lema je svojevrsno poopćenje leme 24.
Lema 30. Neka su
\tau i
\eta dualna vremena zaustavljanja. Vrijedi:
(56)
\sum_{i=L(\tau,T)+1}^{T} X_{i} \buildrel \mathcal{D} \over = \sum_{i=1}^{L(\eta,T)} X_{i}.
Dokaz. Iz korolara
24 slijedi:
(57)
\sum_{i=1}^{L(\eta,n)} X_{i} \buildrel \mathcal{D} \over = \sum_{i=L(\tau,n)+1}^{n} X_{i}, \quad n \in \mathbb{N}_{0}.
Budući da su slučajne varijable
L(\tau,n) i
L(\eta,n)\mathcal{F}_{n}-izmjerive za
n \in \mathbb{N} slijedi da su nezavisne sa slučajnom varijablom
T. Iz
(57) slijedi:
\begin{split} P\lbrace \sum_{i=L(\tau,T)+1}^{T} X_{i} \le x \rbrace &= \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} P\lbrace \sum_{i=k+1}^{n} X_{i} \le x, T=n, L(\tau,n) = k \rbrace \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} P\lbrace \sum_{i=k+1}^{n} X_{i} \le x, L(\tau,n) = k \rbrace P\lbrace T=n\rbrace \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} P\lbrace \sum_{i=L(\tau,n)+1}^{n} X_{i} \le x \rbrace P\lbrace T=n\rbrace \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\eta,n)} X_{i} \le x \rbrace P\lbrace T=n\rbrace \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\eta,n)} X_{i} \le x, T=n\rbrace = P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\eta,T)} X_{i} \le x \rbrace , \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}
\ \blacksquare
Za vrijeme zaustavljanja \gamma definiramo:
(58)
H_{\gamma,q}(x) := P\lbrace S_{\gamma} \le x, \gamma \le T \rbrace , \quad x \in \mathbb{R}.
Sljedeća lema nam je potrebna kako bi dokazali lemu 32, a njen dokaz može se pronaći u [1].
Lema 31. Neka je
\lbrace \gamma(i) : i \ge 0\rbrace proces iteracija generiran vremenom zaustavljanja
\gamma. Za
x_{i} \in \mathbb{R},
i=1,...k,
k \in \mathbb{N} vrijedi:
P(\bigcap_{i=1}^{k} \lbrace S_{\gamma(i)} - S_{\gamma(i-1)} \le x_{i} \rbrace , \gamma(k) \le T) = \prod_{i=1}^{k} H_{\gamma,q}(x_{i}).
Lema 32. Neka je
\gamma vrijeme zaustavljanja. Vrijedi:
(59)
P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\gamma,T)}X_{i} \le x\rbrace = \sum_{k=0}^{\infty}H_{\gamma,q}^{k*}(x)(1-P\lbrace \gamma \le T\rbrace ), \quad x \in \mathbb{R}.
Dokaz. Iz leme
31 koristeći korolar
19 i lemu
30 dobivamo:
(60)
P(\bigcap_{i=1}^{k}\lbrace S_{\gamma(i)}-S_{\gamma(i-1)} \le x_{i} \rbrace | \gamma(k) \le T) = \prod_{i=1}^{k}\frac{H_{\gamma,q}(x_{i})}{P\lbrace \gamma \le T\rbrace }, \quad k \in \mathbb{N}.
Iz korolara
19 slijedi da su slučajne varijable
S_{\gamma(i)}-S_{\gamma(i-1)},
i=1,...,k nezavisne i jednako distribuirane na vjerojatnosnom prostoru:
(\lbrace \gamma(k) \le T\rbrace , \mathcal{F} \cap \lbrace \gamma(k) \le T\rbrace , P\lbrace \cdot | \gamma(k) \le T \rbrace ), \quad k \in \mathbb{N}.
Dakle, iz
(60) slijedi da je distribucija slučajne varijable
S_{\gamma(i)}-S_{\gamma(i-1)} dana sa:
(61)
G(x)=\frac{H_{\gamma,q}(x)}{P\lbrace \gamma \le T\rbrace },\quad x \in \mathbb{R}.
Budući da je
S_{\gamma(k)}=\sum_{i=1}^{k}(S_{\gamma(i)}-S_{\gamma(i-1)}), iz relacija
(17) i
(61) slijedi:
\begin{split} P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\gamma,T)}&X_{i} \le x\rbrace = \sum_{k=0}^{\infty} P\lbrace \sum_{i=1}^{\gamma(k)}X_{i} \le x, \gamma(k) \le T \lt \gamma(k+1) \rbrace \\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\big( P\lbrace S_{\gamma(k)} \le x, \gamma(k) \le T\rbrace - P\lbrace S_{\gamma(k)} \le x, \gamma(k+1) \le T\rbrace \big)\\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\big( H_{\gamma,q}^{k*}(x) - H_{\gamma,q}^{k*}(x)P\lbrace \gamma \le T\rbrace \big)\\ &= \sum_{k=0}^{\infty}H_{\gamma,q}^{k*}(x)(1-P\lbrace \gamma \le T\rbrace ). \end{split}
\ \blacksquare
Dokaz sljedeće leme može se pronaći u [1].
Lema 33. Neka je
\gamma vrijeme zaustavljanja. Tada su slučajne varijable:
\sum_{i=1}^{L(\gamma,T)}X_{i},\quad \sum_{i=L(\gamma,T)+1}^{T}X_{i}
nezavisne.
Lema 33 posljednji je rezultat koji nam je potreban kako bi dokazali Wiener-Hopfovu faktorizaciju te ujedno i prvi korak u dokazu. Budući da smo dokazali sve potrebne rezultate, dokaz Wiener-Hopfove faktorizacije ići će poprilično glatko.
Teorem 34. [Wiener-Hopf] Neka su
\tau i
\eta dualna vremena zaustavljanja. Funkciju koraka slučajne šetnje
F možemo faktorizirati na sljedeći način:
(62)
\delta-qF = (\delta - H_{\tau,q})*(\delta-H_{\eta,q}).
Dokaz.
Vrijedi:
(63)
S_{T} = \sum_{i=1}^{L(\tau,T)}X_{i} + \sum_{i=L(\tau,T)+1}^{T}X_{i}.
Iz
(63), koristeći lemu
33 i relaciju
(14) dobivamo:
(64)
F_{S_{T}} = F_{\sum_{i=1}^{L(\tau,T)}X_{i}} * F_{\sum_{i=L(\tau,T)+1}^{T}X_{i}}.
Iz
(64) koristeći lemu
30 dobivamo:
(65)
F_{S_{T}} = F_{\sum_{i=1}^{L(\tau,T)}X_{i}} * F_{\sum_{i=1}^{L(\eta,T)}X_{i}}.
Iz
(65) primjenjujući lemu
32 dobivamo:
(66)
\begin{split} F_{S_{T}} = \big(\sum_{n=0}^{\infty}H_{\tau,q}^{n*}(1-P\lbrace \tau \le T\rbrace )\big) * \big(\sum_{n=0}^{\infty}H_{\eta,q}^{n*}(1-P\lbrace \eta \le T\rbrace )\big). \end{split}
Uvedimo oznake:
\begin{split} &C_{\tau}(x) := P\lbrace S_{\tau} \le x | \tau \le T\rbrace , \quad x \in \mathbb{R}, \quad q_{\tau} := P\lbrace \tau \le T\rbrace = 1 - p_{\tau}, \\ &C_{\eta}(x) := P\lbrace S_{\eta} \le x | \eta \le T\rbrace , \quad x \in \mathbb{R}, \quad q_{\eta} := P\lbrace \eta \le T\rbrace = 1 - p_{\eta}. \end{split}
Iz činjenice da vrijedi:
q_{\tau}C_{\tau} = H_{\tau,q}, \quad q_{\eta}C_{\eta} = H_{\eta,q},
iz
(14) slijedi:
(67)
\begin{split} &\sum_{n=0}^{\infty}H_{\tau,q}^{n*}(1-P\lbrace \tau \le T\rbrace ) = \sum_{n=0}^{\infty}p_{\tau}q_{\tau}^{n}C_{\tau}^{n*}, \\ & \sum_{n=0}^{\infty}H_{\eta,q}^{n*}(1-P\lbrace \eta \le T\rbrace ) = \sum_{n=0}^{\infty}p_{\eta}q_{\eta}^{n}C_{\eta}^{n*}. \end{split}
Iz
(66) i
(67) slijedi:
(68)
F_{S_{T}} = (\sum_{n=0}^{\infty}p_{\tau}q_{\tau}^{n}C_{\tau}^{n*}) * ( \sum_{n=0}^{\infty}p_{\eta}q_{\eta}^{n}C_{\eta}^{n*}).
S druge strane, iz korolara
8 i nezavisnosti slučajne varijable
T sa slučajnom šetnjom slijedi:
(69)
\begin{split} F_{S_{T}}(x) &= P\lbrace S_{T} \le x\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace S_{n} \le x, T=n \rbrace \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace S_{n} \le x\rbrace P\lbrace T=n \rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} pq^{n}F^{n*}(x), \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}
Iz
(68) i
(69) slijedi:
(70)
\sum_{n=0}^{\infty} pq^{n}F^{n*} = \sum_{n=0}^{\infty}p_{\tau}q_{\tau}^{n}C_{\tau}^{n*} * \sum_{n=0}^{\infty}p_{\eta}q_{\eta}^{n}C_{\eta}^{n*}.
Izraz
(70) konvoluiramo sa
\delta - qF. Iz asocijativnosti konvolucije i propozicije
10 slijedi:
(71)
p\delta = \sum_{n=0}^{\infty}p_{\tau}q_{\tau}^{n}C_{\tau}^{n*} * \sum_{n=0}^{\infty}p_{\eta}q_{\eta}^{n}C_{\eta}^{n*} * (\delta - qF).
Izraz
(71) konvoluiramo redom sa
\delta-q_{\tau}C_{\tau} i
\delta-q_{\eta}C_{\eta}. Iz komutativnosti i asocijativnosti konvolucije te propozicije
10 slijedi:
(72)
p(\delta-q_{\tau}C_{\tau})*(\delta-q_{\eta}C_{\eta}) = p_{\tau}p_{\eta}(\delta - qF).
Budući da su
\tau i
T nezavisne slučajne varijable, a
q \in(0,1), slijedi:
(73)
\begin{split} P\lbrace \tau \le T\rbrace &= \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace \tau=n,n \le T\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace \tau=n \rbrace P\lbrace n \le T\rbrace \\ &= \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace \tau=n \rbrace q^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace \tau=n \rbrace q^{n} + q^{\infty}P\lbrace \tau = \infty\rbrace \\ &= \mathbb{E}[q^{\tau}]. \end{split}
Ista tvrdnja vrijedi i za
\eta. Iz
(73) i propozicije
25 slijedi:
(74)
p_{\tau}p_{\eta} = (1-P\lbrace \tau \le T\rbrace )(1-P\lbrace \eta \le T\rbrace ) = (1-\mathbb{E}[q^{\tau}])(1-\mathbb{E}[q^{\eta}]) = 1-q=p.
Iz
(72) i
(74) slijedi tvrdnja teorema.
\ \blacksquare
5Baxterove jednakosti
U ovom poglavlju primjenom Wiener-Hopfove faktorizacije na dualna vremena zaustavljanja N i \bar{N} dokazujemo Baxterove jednakosti. Prije nego li iskažemo Baxterov teorem potrebno je dokazati nekoliko lema. Označimo:
\begin{split} &H_{q}(x) := P\lbrace S_{N} \le x, N \le T\rbrace , \quad x \in \mathbb{R}, \\ &\bar{H}_{q}(x) := P\lbrace S_{\bar{N}} \le x, \bar{N} \le T\rbrace , \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}
Iz nezavisnosti slučajne varijable T sa slučajnim varijablama \lbrace X_{n}:n\ge 1\rbrace slijedi:
(75)
\begin{split} H_{q}(x) = P\lbrace S_{N} \le x, N \le T\rbrace &= \sum_{n=1}^{\infty} P\lbrace S_{n} \le x, n \le T, N=n\rbrace \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} P\lbrace S_{n} \le x, N=n\rbrace q^{n}, \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}
Iz (75) primjenom relacije (27) slijedi:
(76)
\begin{split} \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dH_{q}(x) &= \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} d(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}P\lbrace S_{n} \le \cdot, N=n\rbrace )(x) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dP\lbrace S_{n} \le \cdot, N=n\rbrace (x), \quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}
Lebesgueovom indukcijom pokaže se da za Borelovu funkciju f i proizvoljan n \in \mathbb{N} vrijedi:
(77)
\int_{\lbrace n\rbrace \times (0,\infty)} f(x) dF_{(N,S_{N})}(y,x) = \int_{(0,\infty)}f(x) dP\lbrace S_{n} \le \cdot, N=n\rbrace (x).
u smislu da ako jedan od integral u (77) postoji da tada postoji i drugi i da su jednaki. Koristeći (77) i teorem o dominiranoj konvergenciji kao i činjenicu da je na skupu \lbrace N=n\rbrace, S_{n} \gt 0, n \in \mathbb{N}, slijedi:
(78)
\begin{split} \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] &= \mathbb{E}[\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}e^{i \zeta S_{n}} {1}_{\lbrace N=n\rbrace }] = \sum_{n=1}^{\infty}q^{n}\mathbb{E}[ e^{i \zeta S_{n}} {1}_{\lbrace N=n\rbrace }] \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}q^{n} \int_{\Omega} e^{i \zeta S_{n}} {1}_{\lbrace N=n\rbrace }dP\\ &= \sum_{n=1}^{\infty}q^{n} \int_{\lbrace n\rbrace \times (0,\infty)} e^{i \zeta x} dF_{(N,S_{N})}(y,x) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}q^{n} \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x}dP\lbrace S_{n} \le \cdot, N=n\rbrace (x), \quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}
Iz (76) i (78) slijedi:
(79)
\begin{split} &\mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] = \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dH_{q}(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}, \\ & \mathbb{E}[q^{\bar{N}}e^{i \zeta S_{\bar{N}}}] = \int_{(-\infty,0]} e^{i \zeta x} d\bar{H}_{q}(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}
Druga jednakost u (79) pokazuje se analogno kao prva.
Lema 35. Vrijedi:
(80)
\begin{split} &\hat{H}_{q}(\zeta) = \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}], \quad \zeta \in \mathbb{R},\\ &\hat{\bar{H}}_{q}(\zeta) = \mathbb{E}[q^{\bar{N}}e^{i \zeta S_{\bar{N}}}], \quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}
Dokaz. Budući da je
H_{q}(x) = 0 za
x \le 0 iz relacije
(9) slijedi da je mjera generirana sa
H_{q} koncentrirana na
(0,\infty) pa je
\int_{(-\infty,0]} e^{i\zeta x} dH_{q}(x)=0. Iz relacije
(79) slijedi:
\hat{H_{q}}(\zeta) = \int_{\mathbb{R}} e^{i\zeta x} dH_{q}(x) = \int_{(0,\infty)} e^{i\zeta x} dH_{q}(x) = \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}], \quad \zeta \in \mathbb{R}.
Druga jednakost u
(79) pokaže se analogno koristeći činjenicu da je mjera generirana sa
\bar{H_{q}} koncentrirana na
(-\infty,0].
\ \blacksquare
Lema 36. Neka je
G funkcija distribucije te neka je
q \in (0,1), p=1-q. Vrijedi:
(81)
\log \frac{p}{1-q\hat{G}(\zeta)} = \int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}G^{n*})(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}.
Dokaz. Budući da je
|\hat{G}(\zeta)| \le 1,
\zeta \in \mathbb{R}, te
|q| \lt 1 slijedi
|\hat{G}(\zeta)q| \lt 1. Razvojem u Taylorov red dobivamo:
(82)
\begin{split} \log \frac{p}{1-q\hat{G}(\zeta)} &= \log(1-q) - \log(1-q\hat{G}(\zeta)) \\ &= -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}\hat{G}^{n}(\zeta). \end{split}
Budući da iz korolara
8 slijedi da je
G^{n*} funkcija distribucije za
n \in \mathbb{N}, iz propozicije
9 i relacije
(27) slijedi:
(83)
\begin{split} -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}\hat{G}^{n}(\zeta) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} \int_{\mathbb{R}}(-1)dG^{n*}(x) + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} \int_{\mathbb{R}} e^{i \zeta x}dG^{n*}(x) \\ &= \int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}G^{n*})(x). \end{split}
Iz
(82) i
(83) slijedi tvrdnja leme.
\ \blacksquare
Baxterove jednakosti izražavaju \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] u terminima funkcija distribucije F^{n*}, n \in \mathbb{N}, te predstavljaju značajan korak pri određivanju distribucije slučajnog vektora (N,S_{N}).
Teorem 37.[Baxter] Za
0 \lt q \lt 1,
\zeta \in \mathbb{R} vrijedi:
(84)
\begin{split} & 1 - \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] = \exp\lbrace -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n}}{n}\int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dF^{n*}(x)\rbrace , \\ & 1 - \mathbb{E}[q^{\bar{N}}e^{i \zeta S_{\bar{N}}}] = \exp\lbrace -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n}}{n}\int_{(-\infty,0]} e^{i \zeta x} dF^{n*}(x)\rbrace . \end{split}
Dokaz.
Uvedimo oznake:
\begin{split} &H_{q}(x) := P\lbrace S_{N} \le x, N \le T\rbrace , q_{+} := P\lbrace N \le T\rbrace , p_{+} := 1-q_{+}, \\ &\bar{H}_{q}(x) := P\lbrace S_{\bar{N}} \le x, \bar{N} \le T\rbrace , q_{-} := P\lbrace \bar{N} \le T\rbrace , p_{-} := 1-q_{-}, \\ & C_{+}(x) := P\lbrace S_{N} \le x | N \le T\rbrace = H_{q}(x)/q_{+}, \\ & C_{-}(x) := P\lbrace S_{\bar{N}} \le x | \bar{N} \le T\rbrace = \bar{H}_{q}(x)/q_{-}. \end{split}
Budući da iz leme
28 slijedi da su
N i
\bar{N} dualna vremena zaustavljanja, iz teorema
34 slijedi:
(85)
\delta-qF = (\delta - H_{q})*(\delta-\bar{H}_{q}).
Također, budući da je
0\lt q,q_{+},q_{-} \lt 1, analogno kao
(74) pokaže se:
Iz relacija
(7),
(21) i
(85), teorema
4 te definicije 1.6 slijedi:
(87)
1-q\hat{F}(\zeta) = (1-q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta))(1-q_{-}\hat{C}_{-}(\zeta)), \quad \zeta \in \mathbb{R}.
Budući da su
F,C_{+},C_{-} funkcije distribucije i
0\lt q,q_{+},q_{-} \lt 1, iz relacija
(87) i
(86) slijedi:
(88)
\frac{p}{1-q\hat{F}(\zeta)} = \bigg( \frac{p_{+}}{1-q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta)} \bigg)\bigg( \frac{p_{-}}{1-q_{-}\hat{C}_{-}(\zeta)} \bigg), \quad \zeta \in \mathbb{R}.
Logaritmiranjem relacije
(88) i primjenom leme
36 slijedi:
(89)
\begin{split} &\int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x) = \\ &=\int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*})(x) + \int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*})(x) \\ &= \int_{\mathbb{R}}(e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*})(x),\quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}
Iz korolara
8, relacija
(26) i
(86) slijedi:
(90)
\begin{split} \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*}}(\mathbb{R}) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}\mu_{F^{n*}}(\mathbb{R}) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} \\ &= -\log(1-q) =-\log(p) = -\log(p_{+}p_{-}) \\ &= -\log(p_{+}) - \log(p_{-}) = -\log(1-q_{+}) - \log(1-q_{-})\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}\mu_{C_{+}^{n*}}(\mathbb{R})+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}\mu_{C_{-}^{n*}}(\mathbb{R}) \\ &= (\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}\mu_{C_{+}^{n*}} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}\mu_{C_{-}^{n*}})(\mathbb{R}). \end{split}
Budući da je
\mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*}}(\mathbb{R}) = -\log(1-q) \lt \infty, iz relacija
(89) i
(90) slijedi:
(91)
\int_{\mathbb{R}} e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x) = \int_{\mathbb{R}}e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*})(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}.
Iz
(91) i teorema jedinstvenosti karakterističnih funkcija slijedi:
(92)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*}.
Budući da je
C_{+}(x)=0 za
x \le 0, iz relacije
(9) slijedi da je mjera generirana s funkcijom distribucije
C_{+} koncentrirana na
(0,\infty). Stoga iz korolara
8 slijedi da je i mjera generirana funkcijom distribucije
C_{+}^{n*} (
n \ge 2) koncentrirana na
(0,\infty) pa je i mjera generirana sa
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*} koncentrirana na
(0,\infty). Slično se pokaže da je mjera generirana sa
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*}koncentrirana na
(-\infty,0]. Iz relacija
(26) i
(92) slijedi:
(93)
\begin{split} \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*}}\big((0,\infty)\big) &= \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*}}\big((0,\infty)\big) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n} \mu_{C_{+}^{n*}}\big((0,\infty)\big) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n} = -\log(1-q_{+}) = -\log p_{+}. \end{split}
Iz leme
36 i relacije
(93) slijedi:
(94)
\begin{split} \log\frac{p_{+}}{1-q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta)} &= \int_{(0,\infty)} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*})(x) \\ &=\int_{(0,\infty)} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x)\\ &=\int_{(0,\infty)}e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x) - \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*}}\big((0,\infty)\big) \\ &= \int_{(0,\infty)}e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x) + \log p_{+},\quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}
Iz
(94) slijedi:
(95)
-\log(1-q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta)) = \int_{(0,\infty)}e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x),\quad \zeta \in \mathbb{R}.
Budući da iz relacije
(21) slijedi
\hat{H}_{q}(\zeta)=q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta),
\zeta \in \mathbb{R}, a iz leme
35 slijedi
\hat{H}_{q}(\zeta) = \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}],
\zeta \in \mathbb{R}, primjenom eksponencijalne funkcije na relaciju
(95) te koristeći relaciju
(27) dobivamo:
1 - \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] = \exp\lbrace -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n}}{n}\int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dF^{n*}(x)\rbrace , \quad \zeta \in \mathbb{R}.
Druga jednakost dobiva se slično kao prva polazeći od relacije
(92).
\ \blacksquare
Bibliografija
[1] |
Marijo Alilović, Slučajne šetnje i Wiener-Hopfova faktorizacija, diplomski rad, PMF Matematički odsjek Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 2017. |
[2] |
Priscilla Greenwood, Moshe Shaked , Dual pairs of stopping times for random walk, Annals of Probability, 1978., Vol. 6, No. 4, 644.-650. |
[3] |
Sidney I. Resnick, Adventures in Stohastic Processes, Birkhaeuser, Boston, 1992.
|