Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

vjerojatnost

Wiener-Hopfova faktorizacija


Marijo Alilović, Miljenko Huzak
U spomen na docenta Antu Mimicu
Sažetak
U ovom radu pomoću dualnih vremena zaustavljanja dokazana je Wiener-Hopfova faktorizacija slučajne šetnje na R te je primijenjena u dokazu Baxterovih jednakosti.

Uvod

Osnovni matematički objekt koji ćemo proučavati je slučajna šetnja na R. Neka je {Xn:n1} niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli definiranih na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F,P). Tada za slučajni proces {Sn:n0} definiran sa:

S0=0,Sn=X1+...+Xnn1,

kažemo da je slučajna šetnja na R. Neka je:

N1=inf{n1:Sn>0}, uz dogovor inf=.

N1 je prvi trenutak u kojem je vrijednost slučajne šetnje strogo pozitivna, a SN1 je vrijednost slučajne šetnje u trenutku N1. Ako stavimo N0=0 tada N1 možemo promatrati kao prvo vrijeme u kojem je prirast slučajne šetnje strogo pozitivan od trenutka N0, tj:

N1=inf{n>N0:SnSN0=XN0+1+XN0+2+...+Xn>0}.

Kao interesantno pitanje vezano za slučajnu šetnju nameće se pitanje distribucije slučajnog vektora (N1N0,SN1SN0). Nadalje, na izmjerivom prostoru:
 

(Ω{N1<},F{N1<})

možemo definirati:

N2=inf{n>N1:Sn>SN1}, uz dogovor inf=.

N2 je prvi trenutak od trenutka N1 u kojem je prirast slučajnoj šetnji strogo pozitivan, a SN2SN1 je prirast slučajne šetnje od trenutka N1 do trenutka N2. Ponovno kao interesantno pitanje nameće se poznavanje distribucije slučajnog vektora (N2N1,SN2SN1). Potpuno analogno na izmjerivom prostoru:

 

(Ω(k1i=1{Ni<}),F(k1i=1{Ni<}))

možemo definirati Nk=inf{n>Nk1:Sn>SNk1}, uz dogovor inf=, k1.

Nk je prvo vrijeme od trenutka Nk1 u kojem je prirast slučajnoj šetnji strogo pozitivan, a SNkSNk1 je prirast slučajne šetnje od trenutka Nk1 do trenutka Nk. Zanima nas distribucija slučajnog vektora (NkNk1,SNkSNk1). Pokazat ćemo da za nN na vjerojatnosnom prostoru:
 

(Ω(ni=1{Ni<}),F(ni=1{Ni<}),P(|{ni=1{Ni<}))

vrijedi:

(NkNk1,SNkSNk1)D=(N1,SN1),kn

pa pitanje distribucije slučajnog vektora (N1,SN1) postaje jedno od najvažnijih pitanja vezanih za slučajnu šetnju. Glavni rezultat koji vodi ka određivanju distribucije slučajnog vektora (N1,SN1) je Baxterov teorem u čijem dokazu ključnu ulogu igra Wiener-Hopfova faktorizacija.

1Konvolucija

Definicija 1. Neka su μ i νσ-konačne mjere na (R,B). Tada definiramo konvoluciju mjera μ i ν na sljedeći način:
(1)
(μν)(A):=x+yAd(μ×ν)(x,y),AB.


Budući da su mjere σ-konačne, iz definicije konvolucije primjenom Fubinijevog teorema odmah slijedi:

(2)
(μν)(A)=Rμ(Ay)dν(y),AB.

Iz (2) koristeći Beppo-Levijev teorem i σ-aditivnost mjere μ pokaže se da je konvolucija μν mjera na (R,B). Također, σ-konačnost, odnosno konačnost mjera μ i ν povlači σ-konačnost, odnosno konačnost mjere μν.


Definirajmo funkciju Δ:BR na sljedeći način:

(3)
Δ(A):={1, 0A0, 0A,AB.

Sa (3) definirana je mjera na B. Za konačnu mjeru χ na izmjerivom prostoru (R,B) definiramo Fourierovu transformaciju od χ kao kompleksnu funkciju realne varijable:

(4)
ˆχ(ζ):=Reiζxdχ(x),ζR.

Teorem 2. Neka su μ, ν i λσ-konačne te χ i ψ konačne mjere na (R,B). Neka je f Borelova funkcija. Tada vrijedi:

(1) Δμ=μ
(2) μν=νμ
(3) (μ+ν)λ=μλ+μλ
(4) (μν)λ=μ(νλ)
(5) ^χψ=ˆχˆψ

Definicija 3. Neka su μ1,μ2,ν1,ν2 konačne mjere na (R,B). Stavimo, α=μ1ν1 i β=μ2ν2. Definiramo konvoluciju realnih mjera α i β na sljedeći način:
(5)
αβ=(μ1ν1)(μ2ν2):=μ1μ2μ1ν2ν1μ2+ν1ν2.


 

Konačnost mjera u definiciji je bitna jer izraz nije definiran.


Za α=μν, gdje su μ i ν konačne mjere na (R,B), definiramo:

(6)
Rfdα:=RfdμRfdν,

gdje je f Borelova funkcija integrabilna u odnosu na μ i ν. Iz (4) i (6) slijedi:

(7)
ˆα(ζ)=ˆμ(ζ)ˆν(ζ),ζR.

Lebesgueovom indukcijom pokaže se da je integral u odnosu na zbroj mjera jednak zbroju integrala, tj.:

(8)
Rfd(μ+ν)=Rfdμ+Rfdν,

u smislu da ako jedan od integrala postoji, tada postoji i drugi te su jednaki.

Teorem 4. Neka su μ1,μ2,μ3,ν1,ν2,ν3 konačne mjere na (R,B). Definiramo α=μ1ν1, β=μ2ν2 te γ=μ3ν3. Tada vrijedi:
a
(1) αβ=βα
(2) (α+β)γ=αγ+αγ
(3) (αβ)γ=α(βγ)
(4) ^αβ=ˆαˆβ


Ako je funkcija F:RR monotono rastuća te neprekidna zdesna tada postoji jedinstvena Lebesgue-Stieltjesova mjera μF na B takva da vrijedi:

(9)
μF((a,b])=F(b)F(a),a,bR,a<b.

Relacija (9) opravdava izraze oblika: F generira mjeru μF. Integriranje na prostoru mjere (R,B,μF) integrabilne Borelove funkcije f često označujemo RfdF, a oznaku interpretiramo na sljedeći način:

(10)
RfdF:=RfdμF.

Neka je funkcija F:RR ograničena, rastuća i neprekidna zdesna. Tada definiramo:

(11)
ˆF(ζ):=ˆμF(ζ),ζR.

Definicija 5. Neka su funkcije F,G:RR ograničene, rastuće i neprekidne zdesna. Tada definiramo konvoluciju od F i G, u oznaci FG, na sljedeći način:
(12)
(FG)(x):=(μFμG)((,x])=RF(xy)dG(y),xR,

gdje je mjera μF inducirana sa F te mjera μG inducirana sa G u smislu relacije (9).


Pokaže se da je funkcija FG nenegativna, ograničena, rastuća i neprekidna zdesna te stoga generira mjeru μFG, a zbog relacije (12) slijedi μFG=μFμG. Također, zbog relacije (12), svojstva konvolucije mjera iz teorema 2 preslikavaju se na svojstva konvolucije rastućih i zdesna neprekidnih funkcija. Ulogu neutralnog elementa ima funkcija koju generira mjera Δ, a to je funkcija FΔ=1[0,). Funkciju FΔ označavamo sa δ.


Definicija 6. Neka su funkcije F1,F2,G1,G2:RR ograničene, rastuće i neprekidne zdesna. Definiramo:
(13)
(F1G1)(F2G2):=F1F2F1G2G1F2+G1F2.


Zbog relacije (13), svojstva konvolucije iz teorema 4 preslikavaju se na svojstva operacije definirane sa (13). Neka su X i Y nezavisne slučajne varijable sa funkcijama distribucije F i G. Iz Fubinijevog teorema i (10) slijedi:

(14)
FX+Y(t)=P{X+Yt}=Ω1{X+Yt}dP=x+ytdP(X,Y)(x,y)=RR1{x+yt}dPX(x)dPY(y)=RtydPX(x)dPY(y)=F(ty)dG(y)=(FG)(t),tR.

Dakle, konvolucija funkcija distribucije je funkcija distribucije zbroja dviju nezavisnih slučajnih varijabli kojima su faktori konvolucije funkcije distribucije. Induktivno se ta tvrdnja može generalizirati.

Korolar 7. Ako su X1,...,Xn nezavisne slučajne varijable s funkcijama distribucije F1,...,Fn, tada je:
(15)
FX1++Xn=F1Fn.


Neka je F funkcija distribucije. Zbog korolara 7 dobro je definirano potenciranje:

(16)
F0=δ,Fn=F(n1)F,nN.

Korolar 8. Ako su X1,...,Xn nezavisne i jednako distribuirane slučajne varijable s distribucijom F, tada je:
(17)
FX1++Xn=Fn.

Propozicija 9. Neka je F funkcija distribucije. Za svaki nN vrijedi:
(18)
ˆF(ζ)n=^Fn(ζ),ζR.

Dokaz. Neka su X1,...,Xn nezavisne i jednako distribuirane slučajne varijable s funkcijom distribucije F. Tada je: ˆF(ζ)n=(ReiζxdF(x))n=E[eiζX1]n.
Iz korolara 8 slijedi: ^Fn(ζ)=ReiζxdFn(x)=E[eiζ(X1+...+Xn)]=E[eiζX1]n.
 


Neka je funkcija F:RR rastuća i neprekidna zdesna te neka je μF pripadna generirana mjera. Neka je q>0. Budući da je μqF=qμF, Lebesgueovom indukcijom pokaže se da za Borelovu funkciju f vrijedi:

(19)
RfdμqF=qRfdμF,

u smislu da ako jedan od integrala u (19) postoji da tada postoji i drugi te da su jednaki. Jednakost (19) pomoću (10) možemo zapisati na sljedeći način:

(20)
Rfd(qF)=qRfdF.

Iz (20) slijedi:

(21)
^qF=qˆF.

Propozicija 10. Neka je F funkcija distribucije te q(0,1). Tada vrijedi:
(22)
(n=0qnFn)(δqF)=δ.

Dokaz. Vrijedi: n=0qnFn=δ+n=1qnFn.
Za dokaz jednakosti (22) dovoljno je dokazati:
(23)
n=1qnFn=(n=0qnFn)qF.

Iz Beppo-Levijevog teorema, relacije (20) te (16) slijedi: [(n=0qnFn)qF](x)=Rn=0qnFn(xy)d(qF)(y)=n=0qnRFn(xy)d(qF)(y)=n=0qn+1RFn(xy)dF(y)=n=0qn+1F(n+1)(x)=(n=1qnFn)(x),xR.
 


Neka je {μn:n1} niz mjera na (R,B). Definiramo:

(24)
μ(A)=n=1μn(A),AB.

Može se pokazati da je sa (24) zadana mjera na izmjerivom prostoru (R,B). Sljedeća propozicija je generalizacija tvrdnje (8).

Propozicija 11. Neka je f Borelova funkcija. Tada vrijedi:
(25)
Rfd(n=1μn)=n=1Rfμn,
u smislu, da ako jedan integral u (25) postoji da tada postoji i drugi te da su jednaki.


Neka je {Fn:n1} niz rastućih funkcija koje su neprekidne zdesna. Neka je {qn:n1} niz nenegativnih realnih brojeva. Za svaki nN sa μFn označimo pripadnu generiranu mjeru. Može se pokazati da je funkcija n=1qnFn rastuća te neprekidna zdesna pa stoga generira pripadnu mjeru μn=1qnFn. Također, može se pokazati:

(26)
μn=1qnFn=n=1qnμFn.

Iz (20), (25) te (26) slijedi:

(27)
Rfd(n=1qnFn)=Rfdμn=1qnFn=Rfd(n=1qnμFn)=n=1qnRfdμFn=n=1qnRfdFn.

2Vremena zaustavljanja

2.1Niz iteracija

Definicija 12. Neka je (Ω,F) izmjerivi prostor. Familija F={Fn:n1}σ - podalgebri od F takvih da je FnFn+1 za svaki n0 zove se filtracija.

Definicija 13. Neka je (Ω,F) izmjerivi prostor s filtracijom F. Za slučajnu varijablu α:ΩN{} kažemo da je vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju F ako vrijedi:
(28)
{α=n}Fn, za sve n1.


Neka je {Xn:n1} niz slučajnih varijabli na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F,P). Neka je α konačno vrijeme zaustavljanja (P{α<}=1) obzirom na filtraciju {Fn:=σ(X1,...,Xn):n1}. Budući da je Fn=(X1,...,Xn)1(Bn), za svaki nN postoji BnBn takav da vrijedi:

(29)
{α=n}={(X1,...,Xn)Bn}.

Definiramo: α(0)=0, α(1)=α, β(1)=α(1). Neka je α(2) neka slučajna varijabla definirana na izmjerivom prostoru (Ω,F) sa svojstvom:

{α(2)=n}={(Xβ(1)+1,...,Xβ(1)+n)Bn},n1.

Definiramo: β(2):=β(1)+α(2). Za k1 i zadano β(k): neka je α(k+1) neka slučajna varijabla definirana na izmjerivom prostoru (Ω,F) sa svojstvom:

(30)
{α(k+1)=n}={(Xβ(k)+1,...,Xβ(k)+n)Bn},n,k1.

Definiramo: β(k+1):=β(k)+α(k+1). Slijedi: β(k)=α(1)+...+α(k), k1, uz dogovor β(0)=0.

Definicija 14. Niz slučajnih varijabli {β(n):n0} zovemo niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja α.


U uvodu smo na izmjerivom prostoru (Ω(k1i=1{Ni<}),F(k1i=1{Ni<})) definirali:

Nk=inf{n>Nk1:Sn>SNk1},k1, uz dogovor inf= i N0:=0,

gdje je:

N1N:=inf{n>0:Sn>0}.

Budući da je:

(31)
{N=n}={X10,...,X1+...+Xn10,X1+...+Xn>0},

slijedi da je N vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju {Fn=σ(X1,...,Xn),nN} pa postoji BnBn takav da je:

(32)
{N=n}={(X1,...,Xn)Bn},nN.

Iz (31) i (32) slijedi:

(33)
{X10,...,X1+...+Xn10,X1+...+Xn>0}={(X1,...,Xn)Bn}

za svaki nN. Iz (33) slijedi:

{NkNk1=n}={Nk=Nk1+n}=l=0{Nk1=l,Nk=n+l}=l=0{Nk1=l,Xl+10,...,Xl+1+...+Xl+n10,Xl+1+...+Xl+n>0}=l=0{Nk1=l,(Xl+1,...,Xl+n)Bn}={(XNk1+1,...,XNk1+n)Bn},nN.

Vidimo da slučajna varijabla NkNk1 zadovoljava jednakost (30) pa stoga slijedi da je niz slučajnih varijabli {Nk:k0} niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja N. Dakle, dokazali smo sljedeću lemu.

Lema 15. Niz slučajnih varijabli {Nk:k0} je niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja N.


Sljedeći teorem kaže da se niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli pomoću konačnog vremena zaustavljanja razlaže na nezavisne i jednako distribuirane slučajne elemente. Dokaz teorema može se pronaći u [1].

Teorem 16. Neka je {Xn:n1} niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F,P). Neka je α konačno vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju {σ(X1,...,Xn):n1}, a {β(k):k0} niz iteracija generiran s α. Tada su slučajni elementi: {(β(k)β(k1),Xβ(k1)+1,...,Xβ(k)):k1} nezavisni i jednako distribuirani.


U slučaju da α nije gotovo sigurno konačno vrijeme zaustavljanja, tj. P{α=}>0, iz teorema 16 slijedi da su:
 

{(β(k)β(k1),Xβ(k1)+1,...,Xβ(k)):kn}

nezavisni i jednako distribuirani slučajni elementi na vjerojatnosnom prostoru:

({β(n)<},F{β(n)<},P(|{β(n)<}))

Posljedice teorema 16 su značajne, a iznosimo ih u sljedeća tri korolara čiji dokazi se mogu pronaći u [1].

Korolar 17. Slučajni 2-dimenzionalni vektori {(β(k)β(k1),Sβ(k)Sβ(k1)):k1} su nezavisni i jednako distribuirani.

Korolar 18. Neka je φ:RR Borelova funkcija. Tada je: {Yk:=β(k)β(k1)+1φ(Xn):k1}
niz nezavisnih i jednako distriburianih slučajnih varijabli.

Korolar 19. Vrijede sljedeće tvrdnje:[label={(\roman*)}]
(1) {β(k)β(k1):k1} je niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli.
(2) {Sβ(k)Sβ(k1)=Xβ(k1)+1+...+Xβ(k):k1} je niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli (S0=0).
(3) {β(k):k0} je proces obnavljanja.



2.2Dualna vremena zaustavljanja




Neka je H={Xn:n1} slučajan proces, gdje je {Xn:n1} niz nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli definiranih na vjerojatnosnom prostoru (R,B,P). Ovdje su:

P(A)P{HA},AB,Xn(x1,x2,...)=xn,(x1,x2,...)R,nN.

Neka je α vrijeme zaustavljanja obzirom na filtraciju {Fn:=σ(X1,...,Xn):n1}. Neka je {β(n):n0} pripadni niz iteracija. Definiramo:

(34)
Mα(ω):={β(n)(ω):n0},ωR.

Mα zovemo slučajni skup niza iteracija generiranog vremenom zaustavljanja α, a Mα(ω) nije ništa drugo nego vrijednosti niza iteracija {β(n):n0} izračunatih u ω. Definirajmo preslikavanja rn:RR za nN na sljedeći način:

(35)
rn(x1,x2,...,xn,xn+1,...)=(xn,xn1,...,x1,xn+1,...),(x1,x2,...)R.

Definicija 20. Neka su τ i η vremena zaustavljanja obzirom na filtraciju {Fn:n1}. Za vrijeme zaustavljanja τ kažemo da je dualno za η ako za svaki nN vrijedi:
(36)
{ω:nMτ(ω)}={ω:n<ηrn(ω)}.


 

Neka je ω fiksirana točka. Tada je n vrijednost neke varijable niza iteracija generiranog vremenom zaustavljanja τ izračunate u točki ω ako i samo ako gledajući prvih n trenutaka promatranog procesa unatrag (obzirom na točku ω) ne opažamo fenomen kojeg prati vrijeme zaustavljanja η.


Budući da je definicija dualnosti komplicirana, od izuzetne je važnosti naći neku jednostavniju karakterizaciju. U tu svrhu za fiksni nN definiramo:

(37)
L(τ,n)(ω):=max{in:iMτ(ω)}.

Iz korolara 19 slijedi da je niz iteracija proces obnavljanja pa L(τ,n) možemo promatrati kao vrijeme početka zadnjeg obnavljanja do trenutka n koje nije završilo.


Sljedeći teorem daje jednostavniju karakterizaciju dualnosti i ključan je za daljnja razmatranja. Dokaz teorema moguće je pronaći u [2].

Teorem 21. Neka su τ i η vremena zaustavljanja obzirom na filtraciju {Fn:n1}. Tada je τ dualno za η ako i samo ako vrijedi:
(38)
nL(τ,n)=L(η,n)rn,nN.


Prva značajna i pomalo neočekivana posljedica teorema 21 kaže da je definicija dualnosti simetrična.

Korolar 22. Ako je τ dualno vrijeme zaustavljanja za η tada je i η dualno vrijeme zaustavljanja za τ.

Dokaz. Iz teorema 21 i rn1=rn, nN, slijedi: τ je dualno za ηnL(τ,n)=L(η,n)rn,nNnL(τ,n)rn=L(η,n),nNnL(η,n)=L(τ,n)rn,nNη je dualno za τ.
 


Iz nezavisnost i jednake distribuiranosti varijabli {Xn:n1} slijedi:

(39)
HD=rnH,nN.

Iz relacije (39) dobivamo:

(40)
P=Pr1n,nN.

Direktna posljedica teorema 21 i jednakosti (40) je sljedeći korolar.

Korolar 23. Neka su τ i η dualna vremena zaustavljanja. Za svaki nN vrijedi:
(41)
L(η,n)D=nL(τ,n).

Lema 24. Neka su τ i η dualna vremena zaustavljanja. Za svaki nN vrijedi:
(42)
L(τ,n)i=1XiD=ni=L(η,n)+1Xi.

Dokaz. Neka je nN fiksan. Iz relacije (40) i teorema 21 slijedi:
(43)
L(τ,n)i=1XiD=(L(τ,n)i=1Xi)rn=L(τ,n)rni=1Xirn=nL(η,n)i=1Xirn.

Budući da za i=1,...,n vrijedi Xirn=Xni+1, iz (43) slijedi:
(44)
nL(η,n)i=1Xirn=nL(η,n)i=1Xni+1=ni=L(η,n)+1Xi.

Iz (43) i (44) slijedi tvrdnja leme.
 

Propozicija 25. Neka su τ i η dualna vremena zaustavljanja. Tada za u(0,1) vrijedi:
(45)
n=0unP{τ>n}=n=0E[uη]n,

odnosno:
(46)
1E[uτ]1u=11E[uη].

Dokaz.

Iz relacije (40) slijedi:
(47)
n=0unP{τ>n}=n=0unP{r1n(τ1((n,)))}=n=0unP{τrn>n}

Iz (36) te korolara 22 slijedi:
(48)
n=0unP{τrn>n}=n=0unP{nMη}.

Budući da je u(0,1), za proizvoljno vrijeme zaustavljanja κ vrijedi:
(49)
E[uκ]=n=0unP{κ=n}+uP{κ=}=n=0unP{κ=n}.

Definirajmo funkcije fn na N0 na sljedeći način: fn(k):=unP{ηk=n},k,nN0,
gdje je {ηk:kN0} proces iteracija generiran vremenom zaustavljanja η. Neka je ν brojeća mjera na (N0,P(N0)). Koristeći Beppo-Levijev teorem, definicijsko svojstvo niza iteracija primijenjeno na {ηn:n0}, korolar 19 (da su αn:=ηnηn1, n1, nezavisne i jednako distribuirane) te relaciju (49) raspišimo (48):
(50)
n=0unP{τrn>n}=n=0unP{nMη}=n=0unP(k=0{ηk=n})=n=0unk=0P{ηk=n}=n=0N0fndν=N0n=0fndν=k=0n=0fn(k)=k=0E[uηk]=k=0E[uα1+...+αk]=k=0E[uη]k.

Iz (17) i (20) slijedi tvrdnja (45). Budući da je u(0,1) slijedi 1uη>0. Dakle, vrijedi E[uη](0,1). Slijedi:
(51)
n=0E[uη]n=11E[uη].

Stavimo: pk=P{τ=k}, kN0. Definirajmo nove funkcije fn na N0 na sljedeći način: fn(k):={unpk,kn0,k>nkN0.
Tada iz Beppo-Levijevog teorema i (49) slijedi:
(52)
n=0unP{τ>n}=n=0unn=0nk=0unpk=n=0unn=0N0fndν=n=0unN0n=0fndν=n=0unk=0(n=0fn)(k)=n=0unk=0n=kunpk=n=0unk=0ukpkn=0un=11u(k=0ukpk)11u=11u(1E[uτ]).

Iz (45), (51) i (52) slijedi (46).

 

3Slučajna šetnja

Neka je {Xn:n1} nezavisan i jednako distribuiran niz slučajnih varijabli. Prisjetimo se da je sa S0=0, Sn=X1+...+Xn, nN, definiran slučajni proces kojeg zovemo slučajna šetnja. Slučajne varijable {Xn:n1} nazivamo koracima slučajne šetnje. Funkciju distribucije slučajne varijable X1 zovemo distribucijom koraka.

Definicija 26. Neka je {Xn:n1} nezavisan i jednako distribuiran niz slučajnih varijabli. Definiramo:
(53)
N:=inf{n1:Sn>0}ˉN:=inf{n1:Sn0}.

N zovemo prvo striktno uzlazno vrijeme, a ˉN prvo silazno vrijeme slučajne šetnje {Sn:n0}.


Sa (53) definirana su vremena zaustavljanja obzirom na filtraciju {Fn:=σ(X1,...,Xn):n1}.


Slično kao što smo u lemi 15 pokazali da je niz slučajnih varijabli {Nk:k0} niz iteracija generiran vremenom zaustavljanja N, može se pokazati i analogna tvrdnja za vrijeme zaustavljanja ˉN.


Lema 15 i korolar 17 opravdavaju sljedeću tvrdnju iz uvoda:

Teorem 27. Na vjerojatnosnom prostoru:

(Ω(ni=1{Ni<}),F(ni=1{Ni<}),P(|{ni=1{Ni<}))
vrijedi:
(54)
(NkNk1,SNkSNk1)D=(N1,SN1),kn,nN.

Lema 28. N je dualno vrijeme zaustavljanja za ˉN.

Dokaz.

Neka je n fiksan prirodni broj te ω0{ω:nMN(ω)}, slijedi: nMN(ω0)kN, n=Nk(ω0)Sn(ω0)>Sj(ω0),j=0,1,...,n1Snj(rnω0)>0, j=0,1,...,n1Sj(rnω0)>0, j=1,2,...,nn<ˉNrn(ω0)ω0{ω:n<ˉNrn(ω)}
 

4Wiener-Hopfova faktorizacija

Neka je (R,B,P) vjerojastnosni prostor na kojemu je niz koordinatnih slučajnih varijabli {Xn:n1} nezavisan i jednako distribuiran. Neka je (Ω vjerojatnosni prostor induciran geometrijskom slučajnom varijablom T^{''} s parametrom p \in (0,1) tako da vrijedi : P\lbrace T \ge n \rbrace = q^{n}, q=1-p. Definiramo:

\begin{split} &amp;(\Omega, \mathcal{F},P) := (\Omega^{'} \times \Omega{''}, \mathcal{F}^{'} \times \mathcal{F}^{''}, P^{'} \times P^{''}), \\ &amp; X_{n}(\omega) = X_{n}(\omega^{'}, \omega^{''}) := X_{n}^{'}(\omega^{'}), \quad \omega \in \Omega, n \in \mathbb{N}, \\ &amp; T(\omega) = T(\omega^{'}, \omega^{''}):= T^{''}(\omega^{''}), \quad \omega \in \Omega. \end{split}

Sljedeća lema je tehničkog karaktera, a njen dokaz može se pronaći u [1].

Lema 29. Neka su Y_{1},...,Y_{n} nezavisne, jednako distribuirane, nenegativne cjelobrojne slučajne varijable nezavisne s geometrijskom slučajnom varijablom Y. Tada vrijedi:
(55)
P\lbrace Y \ge Y_{1}+...+Y_{n}\rbrace = P\lbrace Y \ge Y_{1}\rbrace ^{n}.


Sljedeća lema je svojevrsno poopćenje leme 24.

Lema 30. Neka su \tau i \eta dualna vremena zaustavljanja. Vrijedi:
(56)
\sum_{i=L(\tau,T)+1}^{T} X_{i} \buildrel \mathcal{D} \over = \sum_{i=1}^{L(\eta,T)} X_{i}.

Dokaz. Iz korolara 24 slijedi:
(57)
\sum_{i=1}^{L(\eta,n)} X_{i} \buildrel \mathcal{D} \over = \sum_{i=L(\tau,n)+1}^{n} X_{i}, \quad n \in \mathbb{N}_{0}.

Budući da su slučajne varijable L(\tau,n) i L(\eta,n)\mathcal{F}_{n}-izmjerive za n \in \mathbb{N} slijedi da su nezavisne sa slučajnom varijablom T. Iz (57) slijedi: \begin{split} P\lbrace \sum_{i=L(\tau,T)+1}^{T} X_{i} \le x \rbrace &amp;= \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} P\lbrace \sum_{i=k+1}^{n} X_{i} \le x, T=n, L(\tau,n) = k \rbrace \\ &amp;= \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n} P\lbrace \sum_{i=k+1}^{n} X_{i} \le x, L(\tau,n) = k \rbrace P\lbrace T=n\rbrace \\ &amp;= \sum_{n=0}^{\infty} P\lbrace \sum_{i=L(\tau,n)+1}^{n} X_{i} \le x \rbrace P\lbrace T=n\rbrace \\ &amp;= \sum_{n=0}^{\infty} P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\eta,n)} X_{i} \le x \rbrace P\lbrace T=n\rbrace \\ &amp;= \sum_{n=0}^{\infty} P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\eta,n)} X_{i} \le x, T=n\rbrace = P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\eta,T)} X_{i} \le x \rbrace , \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}
\ \blacksquare


Za vrijeme zaustavljanja \gamma definiramo:

(58)
H_{\gamma,q}(x) := P\lbrace S_{\gamma} \le x, \gamma \le T \rbrace , \quad x \in \mathbb{R}.

Sljedeća lema nam je potrebna kako bi dokazali lemu 32, a njen dokaz može se pronaći u [1].

Lema 31. Neka je \lbrace \gamma(i) : i \ge 0\rbrace proces iteracija generiran vremenom zaustavljanja \gamma. Za x_{i} \in \mathbb{R}, i=1,...k, k \in \mathbb{N} vrijedi: P(\bigcap_{i=1}^{k} \lbrace S_{\gamma(i)} - S_{\gamma(i-1)} \le x_{i} \rbrace , \gamma(k) \le T) = \prod_{i=1}^{k} H_{\gamma,q}(x_{i}).

Lema 32. Neka je \gamma vrijeme zaustavljanja. Vrijedi:
(59)
P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\gamma,T)}X_{i} \le x\rbrace = \sum_{k=0}^{\infty}H_{\gamma,q}^{k*}(x)(1-P\lbrace \gamma \le T\rbrace ), \quad x \in \mathbb{R}.


Dokaz. Iz leme 31 koristeći korolar 19 i lemu 30 dobivamo:
(60)
P(\bigcap_{i=1}^{k}\lbrace S_{\gamma(i)}-S_{\gamma(i-1)} \le x_{i} \rbrace | \gamma(k) \le T) = \prod_{i=1}^{k}\frac{H_{\gamma,q}(x_{i})}{P\lbrace \gamma \le T\rbrace }, \quad k \in \mathbb{N}.

Iz korolara 19 slijedi da su slučajne varijable S_{\gamma(i)}-S_{\gamma(i-1)}, i=1,...,k nezavisne i jednako distribuirane na vjerojatnosnom prostoru: (\lbrace \gamma(k) \le T\rbrace , \mathcal{F} \cap \lbrace \gamma(k) \le T\rbrace , P\lbrace \cdot | \gamma(k) \le T \rbrace ), \quad k \in \mathbb{N}.
Dakle, iz (60) slijedi da je distribucija slučajne varijable S_{\gamma(i)}-S_{\gamma(i-1)} dana sa:
(61)
G(x)=\frac{H_{\gamma,q}(x)}{P\lbrace \gamma \le T\rbrace },\quad x \in \mathbb{R}.

Budući da je S_{\gamma(k)}=\sum_{i=1}^{k}(S_{\gamma(i)}-S_{\gamma(i-1)}), iz relacija (17) i (61) slijedi: \begin{split} P\lbrace \sum_{i=1}^{L(\gamma,T)}&amp;X_{i} \le x\rbrace = \sum_{k=0}^{\infty} P\lbrace \sum_{i=1}^{\gamma(k)}X_{i} \le x, \gamma(k) \le T \lt \gamma(k+1) \rbrace \\ &amp;= \sum_{k=0}^{\infty}\big( P\lbrace S_{\gamma(k)} \le x, \gamma(k) \le T\rbrace - P\lbrace S_{\gamma(k)} \le x, \gamma(k+1) \le T\rbrace \big)\\ &amp;= \sum_{k=0}^{\infty}\big( H_{\gamma,q}^{k*}(x) - H_{\gamma,q}^{k*}(x)P\lbrace \gamma \le T\rbrace \big)\\ &amp;= \sum_{k=0}^{\infty}H_{\gamma,q}^{k*}(x)(1-P\lbrace \gamma \le T\rbrace ). \end{split}
\ \blacksquare


Dokaz sljedeće leme može se pronaći u [1].

Lema 33. Neka je \gamma vrijeme zaustavljanja. Tada su slučajne varijable: \sum_{i=1}^{L(\gamma,T)}X_{i},\quad \sum_{i=L(\gamma,T)+1}^{T}X_{i} nezavisne.


Lema 33 posljednji je rezultat koji nam je potreban kako bi dokazali Wiener-Hopfovu faktorizaciju te ujedno i prvi korak u dokazu. Budući da smo dokazali sve potrebne rezultate, dokaz Wiener-Hopfove faktorizacije ići će poprilično glatko.

Teorem 34. [Wiener-Hopf] Neka su \tau i \eta dualna vremena zaustavljanja. Funkciju koraka slučajne šetnje F možemo faktorizirati na sljedeći način:
(62)
\delta-qF = (\delta - H_{\tau,q})*(\delta-H_{\eta,q}).

Dokaz.

Vrijedi:
(63)
S_{T} = \sum_{i=1}^{L(\tau,T)}X_{i} + \sum_{i=L(\tau,T)+1}^{T}X_{i}.

Iz (63), koristeći lemu 33 i relaciju (14) dobivamo:
(64)
F_{S_{T}} = F_{\sum_{i=1}^{L(\tau,T)}X_{i}} * F_{\sum_{i=L(\tau,T)+1}^{T}X_{i}}.

Iz (64) koristeći lemu 30 dobivamo:
(65)
F_{S_{T}} = F_{\sum_{i=1}^{L(\tau,T)}X_{i}} * F_{\sum_{i=1}^{L(\eta,T)}X_{i}}.

Iz (65) primjenjujući lemu 32 dobivamo:
(66)
\begin{split} F_{S_{T}} = \big(\sum_{n=0}^{\infty}H_{\tau,q}^{n*}(1-P\lbrace \tau \le T\rbrace )\big) * \big(\sum_{n=0}^{\infty}H_{\eta,q}^{n*}(1-P\lbrace \eta \le T\rbrace )\big). \end{split}

Uvedimo oznake: \begin{split} &amp;C_{\tau}(x) := P\lbrace S_{\tau} \le x | \tau \le T\rbrace , \quad x \in \mathbb{R}, \quad q_{\tau} := P\lbrace \tau \le T\rbrace = 1 - p_{\tau}, \\ &amp;C_{\eta}(x) := P\lbrace S_{\eta} \le x | \eta \le T\rbrace , \quad x \in \mathbb{R}, \quad q_{\eta} := P\lbrace \eta \le T\rbrace = 1 - p_{\eta}. \end{split}
Iz činjenice da vrijedi: q_{\tau}C_{\tau} = H_{\tau,q}, \quad q_{\eta}C_{\eta} = H_{\eta,q},
iz (14) slijedi:
(67)
\begin{split} &amp;\sum_{n=0}^{\infty}H_{\tau,q}^{n*}(1-P\lbrace \tau \le T\rbrace ) = \sum_{n=0}^{\infty}p_{\tau}q_{\tau}^{n}C_{\tau}^{n*}, \\ &amp; \sum_{n=0}^{\infty}H_{\eta,q}^{n*}(1-P\lbrace \eta \le T\rbrace ) = \sum_{n=0}^{\infty}p_{\eta}q_{\eta}^{n}C_{\eta}^{n*}. \end{split}

Iz (66) i (67) slijedi:
(68)
F_{S_{T}} = (\sum_{n=0}^{\infty}p_{\tau}q_{\tau}^{n}C_{\tau}^{n*}) * ( \sum_{n=0}^{\infty}p_{\eta}q_{\eta}^{n}C_{\eta}^{n*}).

S druge strane, iz korolara 8 i nezavisnosti slučajne varijable T sa slučajnom šetnjom slijedi:
(69)
\begin{split} F_{S_{T}}(x) &amp;= P\lbrace S_{T} \le x\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace S_{n} \le x, T=n \rbrace \\ &amp;= \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace S_{n} \le x\rbrace P\lbrace T=n \rbrace = \sum_{n=0}^{\infty} pq^{n}F^{n*}(x), \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}

Iz (68) i (69) slijedi:
(70)
\sum_{n=0}^{\infty} pq^{n}F^{n*} = \sum_{n=0}^{\infty}p_{\tau}q_{\tau}^{n}C_{\tau}^{n*} * \sum_{n=0}^{\infty}p_{\eta}q_{\eta}^{n}C_{\eta}^{n*}.

Izraz (70) konvoluiramo sa \delta - qF. Iz asocijativnosti konvolucije i propozicije 10 slijedi:
(71)
p\delta = \sum_{n=0}^{\infty}p_{\tau}q_{\tau}^{n}C_{\tau}^{n*} * \sum_{n=0}^{\infty}p_{\eta}q_{\eta}^{n}C_{\eta}^{n*} * (\delta - qF).

Izraz (71) konvoluiramo redom sa \delta-q_{\tau}C_{\tau} i \delta-q_{\eta}C_{\eta}. Iz komutativnosti i asocijativnosti konvolucije te propozicije 10 slijedi:
(72)
p(\delta-q_{\tau}C_{\tau})*(\delta-q_{\eta}C_{\eta}) = p_{\tau}p_{\eta}(\delta - qF).

Budući da su \tau i T nezavisne slučajne varijable, a q \in(0,1), slijedi:
(73)
\begin{split} P\lbrace \tau \le T\rbrace &amp;= \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace \tau=n,n \le T\rbrace = \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace \tau=n \rbrace P\lbrace n \le T\rbrace \\ &amp;= \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace \tau=n \rbrace q^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}P\lbrace \tau=n \rbrace q^{n} + q^{\infty}P\lbrace \tau = \infty\rbrace \\ &amp;= \mathbb{E}[q^{\tau}]. \end{split}

Ista tvrdnja vrijedi i za \eta. Iz (73) i propozicije 25 slijedi:
(74)
p_{\tau}p_{\eta} = (1-P\lbrace \tau \le T\rbrace )(1-P\lbrace \eta \le T\rbrace ) = (1-\mathbb{E}[q^{\tau}])(1-\mathbb{E}[q^{\eta}]) = 1-q=p.

Iz (72) i (74) slijedi tvrdnja teorema.

\ \blacksquare

5Baxterove jednakosti

U ovom poglavlju primjenom Wiener-Hopfove faktorizacije na dualna vremena zaustavljanja N i \bar{N} dokazujemo Baxterove jednakosti. Prije nego li iskažemo Baxterov teorem potrebno je dokazati nekoliko lema. Označimo:

\begin{split} &amp;H_{q}(x) := P\lbrace S_{N} \le x, N \le T\rbrace , \quad x \in \mathbb{R}, \\ &amp;\bar{H}_{q}(x) := P\lbrace S_{\bar{N}} \le x, \bar{N} \le T\rbrace , \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}

Iz nezavisnosti slučajne varijable T sa slučajnim varijablama \lbrace X_{n}:n\ge 1\rbrace slijedi:

(75)
\begin{split} H_{q}(x) = P\lbrace S_{N} \le x, N \le T\rbrace &amp;= \sum_{n=1}^{\infty} P\lbrace S_{n} \le x, n \le T, N=n\rbrace \\ &amp;= \sum_{n=1}^{\infty} P\lbrace S_{n} \le x, N=n\rbrace q^{n}, \quad x \in \mathbb{R}. \end{split}

Iz (75) primjenom relacije (27) slijedi:

(76)
\begin{split} \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dH_{q}(x) &amp;= \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} d(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}P\lbrace S_{n} \le \cdot, N=n\rbrace )(x) \\ &amp;= \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dP\lbrace S_{n} \le \cdot, N=n\rbrace (x), \quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}

Lebesgueovom indukcijom pokaže se da za Borelovu funkciju f i proizvoljan n \in \mathbb{N} vrijedi:

(77)
\int_{\lbrace n\rbrace \times (0,\infty)} f(x) dF_{(N,S_{N})}(y,x) = \int_{(0,\infty)}f(x) dP\lbrace S_{n} \le \cdot, N=n\rbrace (x).

u smislu da ako jedan od integral u (77) postoji da tada postoji i drugi i da su jednaki. Koristeći (77) i teorem o dominiranoj konvergenciji kao i činjenicu da je na skupu \lbrace N=n\rbrace, S_{n} \gt 0, n \in \mathbb{N}, slijedi:

(78)
\begin{split} \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] &amp;= \mathbb{E}[\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}e^{i \zeta S_{n}} {1}_{\lbrace N=n\rbrace }] = \sum_{n=1}^{\infty}q^{n}\mathbb{E}[ e^{i \zeta S_{n}} {1}_{\lbrace N=n\rbrace }] \\ &amp;= \sum_{n=1}^{\infty}q^{n} \int_{\Omega} e^{i \zeta S_{n}} {1}_{\lbrace N=n\rbrace }dP\\ &amp;= \sum_{n=1}^{\infty}q^{n} \int_{\lbrace n\rbrace \times (0,\infty)} e^{i \zeta x} dF_{(N,S_{N})}(y,x) \\ &amp;= \sum_{n=1}^{\infty}q^{n} \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x}dP\lbrace S_{n} \le \cdot, N=n\rbrace (x), \quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}

Iz (76) i (78) slijedi:

(79)
\begin{split} &amp;\mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] = \int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dH_{q}(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}, \\ &amp; \mathbb{E}[q^{\bar{N}}e^{i \zeta S_{\bar{N}}}] = \int_{(-\infty,0]} e^{i \zeta x} d\bar{H}_{q}(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}

Druga jednakost u (79) pokazuje se analogno kao prva.

Lema 35. Vrijedi:
(80)
\begin{split} &amp;\hat{H}_{q}(\zeta) = \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}], \quad \zeta \in \mathbb{R},\\ &amp;\hat{\bar{H}}_{q}(\zeta) = \mathbb{E}[q^{\bar{N}}e^{i \zeta S_{\bar{N}}}], \quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}

Dokaz. Budući da je H_{q}(x) = 0 za x \le 0 iz relacije (9) slijedi da je mjera generirana sa H_{q} koncentrirana na (0,\infty) pa je \int_{(-\infty,0]} e^{i\zeta x} dH_{q}(x)=0. Iz relacije (79) slijedi: \hat{H_{q}}(\zeta) = \int_{\mathbb{R}} e^{i\zeta x} dH_{q}(x) = \int_{(0,\infty)} e^{i\zeta x} dH_{q}(x) = \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}], \quad \zeta \in \mathbb{R}.
Druga jednakost u (79) pokaže se analogno koristeći činjenicu da je mjera generirana sa \bar{H_{q}} koncentrirana na (-\infty,0].
\ \blacksquare

Lema 36. Neka je G funkcija distribucije te neka je q \in (0,1), p=1-q. Vrijedi:
(81)
\log \frac{p}{1-q\hat{G}(\zeta)} = \int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}G^{n*})(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Dokaz. Budući da je |\hat{G}(\zeta)| \le 1, \zeta \in \mathbb{R}, te |q| \lt 1 slijedi |\hat{G}(\zeta)q| \lt 1. Razvojem u Taylorov red dobivamo:
(82)
\begin{split} \log \frac{p}{1-q\hat{G}(\zeta)} &amp;= \log(1-q) - \log(1-q\hat{G}(\zeta)) \\ &amp;= -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}\hat{G}^{n}(\zeta). \end{split}

Budući da iz korolara 8 slijedi da je G^{n*} funkcija distribucije za n \in \mathbb{N}, iz propozicije 9 i relacije (27) slijedi:
(83)
\begin{split} -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}\hat{G}^{n}(\zeta) &amp;= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} \int_{\mathbb{R}}(-1)dG^{n*}(x) + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} \int_{\mathbb{R}} e^{i \zeta x}dG^{n*}(x) \\ &amp;= \int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}G^{n*})(x). \end{split}

Iz (82) i (83) slijedi tvrdnja leme.
\ \blacksquare


Baxterove jednakosti izražavaju \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] u terminima funkcija distribucije F^{n*}, n \in \mathbb{N}, te predstavljaju značajan korak pri određivanju distribucije slučajnog vektora (N,S_{N}).

Teorem 37.[Baxter] Za 0 \lt q \lt 1, \zeta \in \mathbb{R} vrijedi:
(84)
\begin{split} &amp; 1 - \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] = \exp\lbrace -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n}}{n}\int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dF^{n*}(x)\rbrace , \\ &amp; 1 - \mathbb{E}[q^{\bar{N}}e^{i \zeta S_{\bar{N}}}] = \exp\lbrace -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n}}{n}\int_{(-\infty,0]} e^{i \zeta x} dF^{n*}(x)\rbrace . \end{split}

Dokaz.

Uvedimo oznake: \begin{split} &amp;H_{q}(x) := P\lbrace S_{N} \le x, N \le T\rbrace , q_{+} := P\lbrace N \le T\rbrace , p_{+} := 1-q_{+}, \\ &amp;\bar{H}_{q}(x) := P\lbrace S_{\bar{N}} \le x, \bar{N} \le T\rbrace , q_{-} := P\lbrace \bar{N} \le T\rbrace , p_{-} := 1-q_{-}, \\ &amp; C_{+}(x) := P\lbrace S_{N} \le x | N \le T\rbrace = H_{q}(x)/q_{+}, \\ &amp; C_{-}(x) := P\lbrace S_{\bar{N}} \le x | \bar{N} \le T\rbrace = \bar{H}_{q}(x)/q_{-}. \end{split}
Budući da iz leme 28 slijedi da su N i \bar{N} dualna vremena zaustavljanja, iz teorema 34 slijedi:
(85)
\delta-qF = (\delta - H_{q})*(\delta-\bar{H}_{q}).

Također, budući da je 0\lt q,q_{+},q_{-} \lt 1, analogno kao (74) pokaže se:
(86)
p=p_{+}p_{-}

Iz relacija (7), (21) i (85), teorema 4 te definicije 1.6 slijedi:
(87)
1-q\hat{F}(\zeta) = (1-q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta))(1-q_{-}\hat{C}_{-}(\zeta)), \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Budući da su F,C_{+},C_{-} funkcije distribucije i 0\lt q,q_{+},q_{-} \lt 1, iz relacija (87) i (86) slijedi:
(88)
\frac{p}{1-q\hat{F}(\zeta)} = \bigg( \frac{p_{+}}{1-q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta)} \bigg)\bigg( \frac{p_{-}}{1-q_{-}\hat{C}_{-}(\zeta)} \bigg), \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Logaritmiranjem relacije (88) i primjenom leme 36 slijedi:
(89)
\begin{split} &amp;\int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x) = \\ &amp;=\int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*})(x) + \int_{\mathbb{R}} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*})(x) \\ &amp;= \int_{\mathbb{R}}(e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*})(x),\quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}

Iz korolara 8, relacija (26) i (86) slijedi:
(90)
\begin{split} \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*}}(\mathbb{R}) &amp;= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}\mu_{F^{n*}}(\mathbb{R}) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n} \\ &amp;= -\log(1-q) =-\log(p) = -\log(p_{+}p_{-}) \\ &amp;= -\log(p_{+}) - \log(p_{-}) = -\log(1-q_{+}) - \log(1-q_{-})\\ &amp;=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}\mu_{C_{+}^{n*}}(\mathbb{R})+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}\mu_{C_{-}^{n*}}(\mathbb{R}) \\ &amp;= (\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}\mu_{C_{+}^{n*}} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}\mu_{C_{-}^{n*}})(\mathbb{R}). \end{split}

Budući da je \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*}}(\mathbb{R}) = -\log(1-q) \lt \infty, iz relacija (89) i (90) slijedi:
(91)
\int_{\mathbb{R}} e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x) = \int_{\mathbb{R}}e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*})(x), \quad \zeta \in \mathbb{R}.

Iz (91) i teorema jedinstvenosti karakterističnih funkcija slijedi:
(92)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*}.

Budući da je C_{+}(x)=0 za x \le 0, iz relacije (9) slijedi da je mjera generirana s funkcijom distribucije C_{+} koncentrirana na (0,\infty). Stoga iz korolara 8 slijedi da je i mjera generirana funkcijom distribucije C_{+}^{n*} (n \ge 2) koncentrirana na (0,\infty) pa je i mjera generirana sa \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*} koncentrirana na (0,\infty). Slično se pokaže da je mjera generirana sa \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{-}^{n}}{n}C_{-}^{n*}koncentrirana na (-\infty,0]. Iz relacija (26) i (92) slijedi:
(93)
\begin{split} \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*}}\big((0,\infty)\big) &amp;= \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*}}\big((0,\infty)\big) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n} \mu_{C_{+}^{n*}}\big((0,\infty)\big) \\ &amp;= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n} = -\log(1-q_{+}) = -\log p_{+}. \end{split}

Iz leme 36 i relacije (93) slijedi:
(94)
\begin{split} \log\frac{p_{+}}{1-q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta)} &amp;= \int_{(0,\infty)} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q_{+}^{n}}{n}C_{+}^{n*})(x) \\ &amp;=\int_{(0,\infty)} (e^{i \zeta x}-1)d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x)\\ &amp;=\int_{(0,\infty)}e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x) - \mu_{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*}}\big((0,\infty)\big) \\ &amp;= \int_{(0,\infty)}e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x) + \log p_{+},\quad \zeta \in \mathbb{R}. \end{split}

Iz (94) slijedi:
(95)
-\log(1-q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta)) = \int_{(0,\infty)}e^{i \zeta x}d(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n}}{n}F^{n*})(x),\quad \zeta \in \mathbb{R}.

Budući da iz relacije (21) slijedi \hat{H}_{q}(\zeta)=q_{+}\hat{C}_{+}(\zeta), \zeta \in \mathbb{R}, a iz leme 35 slijedi \hat{H}_{q}(\zeta) = \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}], \zeta \in \mathbb{R}, primjenom eksponencijalne funkcije na relaciju (95) te koristeći relaciju (27) dobivamo: 1 - \mathbb{E}[q^{N}e^{i \zeta S_{N}}] = \exp\lbrace -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n}}{n}\int_{(0,\infty)} e^{i \zeta x} dF^{n*}(x)\rbrace , \quad \zeta \in \mathbb{R}.
Druga jednakost dobiva se slično kao prva polazeći od relacije (92).

\ \blacksquare


Bibliografija
[1] Marijo Alilović, Slučajne šetnje i Wiener-Hopfova faktorizacija, diplomski rad, PMF Matematički odsjek Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb, 2017.
[2] Priscilla Greenwood, Moshe Shaked , Dual pairs of stopping times for random walk, Annals of Probability, 1978., Vol. 6, No. 4, 644.-650.
[3] Sidney I. Resnick, Adventures in Stohastic Processes, Birkhaeuser, Boston, 1992.