Navest ćemo tri slogana iz predgovora knjige [1] koji odlično opisuju ulogu modalne logike:

(1)	Modalni jezici su jednostavni, ali izražajni jezici za opis relacijskih struktura.
(2)	Modalni jezici omogućuju interni, lokalni pogled na relacijske strukture.
(3)	Modalni jezici nisu izolirani formalni sistemi.

Standardni uvod u modalnu logiku stoga mora opisati njen jezik, interpretaciju u relacijskim strukturama i vezu s drugim formalizmima, prije svega s logikom prvog reda. No, slogani su primjenjivi i na alternativni pogled na modalnu logiku, jer lokalna perspektiva iz drugog slogana asocira na topološke pojmove, dok nas treći slogan upućuje da alternativnu semantiku ne moramo graditi od nule, već je možemo povezati s već uspostavljenom relacijskom semantikom.

Topološka semantika modalne logike nije jednoznačna. Jedan pristup, pogodan za logiku dokazivosti, već je opisan u članku [3]. U tom članku su prezentirani i osnovni pojmovi modalne logike, pa ćemo ih ovdje samo ukratko ponoviti.

Jezik modalne logike proširuje jezik logike sudova modalnim operatorima. Ako je potrebno, kao podsjetnik na osnovne pojmove logike sudova može poslužiti npr. udžbenik [6]. Mi ćemo promatrati samo osnovni modalni jezik, koji u alfabetu uz propozicionalne varijable i logičke veznike ima modalni operator $\Box$, uz dodatno pravilo izgrađivanja formula: ako je $\varphi$ formula, onda je i $\Box \varphi$ formula. Koristit ćemo i dualni modalni operator $\Diamond$, no nećemo smatrati da je u alfabetu, nego $\Diamond \varphi$ definiramo kao pokratu za $\neg\Box\neg \varphi$.

Okvir za osnovni modalni jezik je relacijska struktura $(W,R)$, gdje je $W\neq\emptyset$ skup koji zovemo nosač, a $R$ binarna relacija na $W$ koju zovemo relacija dostiživosti. Elementi nosača obično se zovu svjetovi, no u topološkoj interpretaciji prirodnije ih je zvati točke.

Model je uređena trojka $(W,R,V)$, gdje je $(W,R)$ okvir, a $V$ valuacija, funkcija koja svakoj propozicionalnoj varijabli $p$ pridružuje podskup nosača $V(p)$. Kažemo da je propozicionalna varijabla $p$ istinita u svijetu $w\in W$ i pišemo $w\Vdash p$ ako je $w\in V(p)$. Definicija istinitosti se na prirodan način proširuje na formule nastale primjenom logičkih veznika, a posebno ćemo navesti samo dio definicije koji se odnosi na formule nastale primjenom modalnog operatora: $w\Vdash\Box \varphi$ ako za svaki $v\in W$ takav da je $wRv$ vrijedi $v\Vdash \varphi$. Lako se vidi da vrijedi $w\Vdash\Diamond \varphi$ ako i samo ako postoji $v\in W$ takav da je $wRv$ i $v\Vdash \varphi$.

U topološkoj semantici ulogu okvira igrat će topološki prostor $(W,\mathcal{T})$, a valuacija se definira kao i kod relacijske semantike. Razlika je u definiciji istinitosti formule oblika $\Box \varphi$, koja će biti istinita u $w$ ako postoji otvoreni skup $U$ koji sadrži $w$ takav da je $\varphi$ istinita u svakoj točki skupa $U$. Drugim riječima, $w$ je u interioru skupa točaka u kojima je istinita formula $\varphi$. Lako se vidi da je $w\Vdash\Diamond \varphi$ ako i samo ako je $w$ u zatvaraču tog skupa.

Kažemo da je formula valjana na okviru $(W,R)$, odnosno $(W,\mathcal{T})$, ako je istinita u svakom svijetu za svaku valuaciju na tom okviru.

Nije teško dokazati:

$\bullet$	$\Box p\to p$ je valjana na $(W,R)$ ako i samo ako je $R$ refleksivna relacija,
$\bullet$	$\Box p\to \Box\Box p$ je valjana na $(W,R)$ ako i samo ako je $R$ tranzitivna.

Možemo reći da formula $\Box p\to p$ definira refleksivnost, a $\Box p\to \Box\Box p$ definira tranzitivnost, te da su stoga refleksivnost i tranzitivnost primjeri modalno definabilnih svojstava relacija. S druge strane, te formule su valjane na svakom topološkom okviru.

Na kraju uvoda vratit ćemo se napomeni o razlozima korištenja različitih topoloških semantika. U već citiranom članku [3] promatrana je logika dokazivosti, za koju je ključna formula $\Box(\Box p\to p)\to\Box p$, koja je valjana točno na okvirima čije su pripadne relacije dostiživosti tranzitivne i inverzno dobro fundirane, tj. ne postoji beskonačan niz $w_{0}Rw_{1}Rw_{2}\dots$ Posebno, $R$ je tada irefleksivna (u suprotnom bismo imali $wRwRw\dots$ za neki $w\in W$). Stoga formula $\Box p\to p$, koja definira refleksivnost, nije valjana ni na jednom takvom okviru. Međutim, valjana je na svakom topološkom okviru. To znači da topološku semantiku za logiku dokazivosti moramo drukčije definirati. Modifikacija se sastoji u tome da se formula $\Box \varphi$ definira istinitom u $w$ ako postoji otvoreni skup $U$ koji sadrži $w$ takav da je $\varphi$ istinita u svakoj točki skupa $U$ različitoj od $w$. Lako je provjeriti da je uz takvu definiciju $\Diamond \varphi$ istinita u $w$ ako i samo ako je $w$ gomilište skupa točaka u kojima je istinita $\varphi$. No, mi ćemo u nastavku ovog članka promatrati ranije definiranu semantiku, po kojoj $\Box \varphi$ i $\Diamond \varphi$ korespondiraju s topološkim pojmovima interiora i zatvarača. U članku pretpostavljamo poznavanje osnovnih pojmova topologije (po potrebi v. [4]).

Neka je $\mathcal{W}=(W,\mathcal{T}, V)$ topološki model, a $\varphi$ proizvoljna modalna formula. Označimo s $A_{\varphi}$ skup svih točaka iz $W$ u kojima je formula $\varphi$ istinita. Zapišimo istinitost modalne formule $\Box\varphi$ u točki $w\in W$ topološkog modela $\mathcal{W}$ pomoću kvantifikatora:

$$\mathcal{W},w\Vdash \Box\varphi\hspace{0.5cm} \text{ako i samo ako}\hspace{0.5cm} \exists\ U\in\mathcal{T}\ \Big(w\in U\ \land\ U\subseteq A_{\varphi}\Big).$$

Kako je za proizvoljan podskup $A$ skupa $W$ po definiciji interiora skupa $A$ ispunjeno:

$$w\in\text{Int}\left(A\right)\hspace{0.5cm} \text{ako i samo ako}\hspace{0.5cm} \exists\ U\in\mathcal{T}\ \Big(w\in U\ \land\ U\subseteq A\Big),$$

to možemo uočiti da vrijedi sljedeće:

Dakle, formuli oblika $\Box\varphi$ odgovara interior skupa $A_{\varphi}$ i obratno, pa je na očit način uspostavljena korespondencija između modalnog operatora $\Box$ i topološkog operatora $\text{Int}$. Budući da je po definiciji zatvarača

$$\text{Cl}\left(A\right):=X\setminus\text{Int}\left(X\setminus A\right),$$

a znamo da je modalni operator $\Diamond$ definiran kao pokrata

$$\Diamond\varphi:=\neg\Box\neg\varphi,$$

to odmah imamo da operatoru $\Diamond$ korespondira topološki operator $\text{Cl}$. Nadalje, kako za proizvoljne modalne formule $\varphi$ i $\psi$ jednostavno vrijedi:

$$\begin{align*} &A_{\top}=W,~A_{\bot}=\emptyset,\\ &A_{\neg\varphi}=A_{\varphi}^{c},\\ &A_{\varphi\land\psi}= A_{\varphi}\cap A_{\psi}\text{ i }A_{\varphi\lor\psi}= A_{\varphi}\cup A_{\psi}, \end{align*}$$

zaključujemo da svaka formula modalnog jezika opisuje određen podskup topološkog prostora. Prirodno se stoga nameće da pokušamo neka važna topološka svojstva kodirati modalnim formulama. Promotrimo sljedeći primjer.

Naš je idući korak promotriti doseg ovako definirane topološke semantike. U uvodnom dijelu smo naglasili da postoje razni pristupi definiranju topološke semantike i svaki je pristup pogodan za opis nekog svojstva. U nastavku pokazujemo da je logika svih topoloških prostora u kojoj modalni operator $\Box$ čitamo kao operator $\text{Int}$ zapravo jednaka logici S4, koju ćemo definirati u sljedećoj točki.

U nastavku s Top označavamo klasu svih topoloških prostora. Neka je $\textbf{W}=\left(W,\mathcal{T}\right)$ proizvoljan element klase Top. Nadalje, za modalnu formulu $\varphi$ koja je valjana na $\textbf{W}$ pišemo

$$\textbf{W}\Vdash\varphi.$$

Definiramo:

$$\begin{align} \Lambda_{\textbf{Top}}:=\left\lbrace \varphi\mid~ \forall ~ \textbf{W}\in\textbf{Top}~\left(\textbf{W}\Vdash\varphi\right)\right\rbrace . \end{align}$$

Drugim riječima, $\Lambda_{\textbf{Top}}$ predstavlja skup svih modalnih formula koje su valjane na svim topološkim prostorima, tj. elementima klase Top. Stoga, $\varphi\in\Lambda_{\textbf{Top}}$ ako i samo ako za proizvoljan prostor $\left(W,\mathcal{T}\right)\in$ Top, proizvoljnu valuaciju $V$ i svaki element $w\in W$ imamo da je

$$\left(W,\mathcal{T},V\right),w~\Vdash\varphi.$$

Označimo s (K) formulu

$$\Box\left(p\to q\right)\to\left(\Box p\to\Box q\right).$$

Riječ je aksiomu sistema K, za koji vrijedi teorem adekvatnosti i potpunosti u odnosu na relacijsku semantiku, tj. svaka formula je teorem sistema K ako i samo ako je valjana na svim okvirima. Detaljniju definiciju sistema K ispuštamo, jer je već dana u članku [3].

Pokušajte zadatak riješiti samostalno, a tek po potrebi pogledati rješenje. Za ostale zadatke u članku nećemo navoditi rješenja.

Odavde lako slijedi da je $\Lambda_{\textbf{Top}}$ proširenje sistema K, tj. sadrži sve njegove teoreme. U nastavku ćemo točno odrediti o kojem proširenju se radi.

Označimo sa S4 proširenje sistema K aksiomima

$$\Box p\to p,$$

za koji smo već u uvodu napomenuli da definira refleksivnost, te

$$\Box p\to\Box\Box p,$$

koji, kako je već napomenuto, definira tranzitivnost. Pokazuje se da je sistem S4 adekvatan i potpun u odnosu na refleksivne i tranzitivne okvire, tj. svaka formula je teorem sistema S4 ako i samo ako je valjana na svim refleksivnim i tranzitivnim okvirima.
Naš je cilj pokazati da je logika S4 adekvatna i potpuna i u odnosu na topološku semantiku, tj. da vrijedi sljedeće:

$$\begin{align} \textbf{S4}=\Lambda_{\textbf{Top}}. \end{align}$$

Razmotrimo najprije adekvatnost, tj. inkluziju $\textbf{S4}\subseteq\Lambda_{\textbf{Top}}$.

Iz prethodnog zadatka lako slijedi teorem adekvatnosti.

U nastavku pokazujemo da vrijedi i potpunost, tj. obratna inkluzija

$$\Lambda_{\textbf{Top}}\subseteq\textbf{S4}.$$

U dokazu potpunosti poslužit ćemo se takozvanim konačno generiranim topološkim prostorima koje je uveo Pavel Sergejevič Aleksandrov, poznati ruski matematičar.

Uočimo da konačna generiranost zapravo zahtijeva da svaka točka $w\in W$, posjeduje najmanju otvorenu okolinu, naime presjek svih otvorenih skupova koji sadrže $w$. Označimo s Fin klasu svih konačno generiranih topoloških prostora. Kao ključnu tvrdnju za dokaz potpunosti pokazat ćemo:

$$\Lambda_{\textbf{Fin}}~~=~~\textbf{S4}.$$

Neka je $\textbf{W}=\left(W,R\right)$ refleksivan i tranzitivan okvir. Kratko ćemo reći da je $R$ kvaziuređaj. Za $A\subseteq W$ definiramo:

$$\uparrow A=\left\lbrace w\in W\mid ~\exists ~ v\in A~~\colon~~vRw\right\rbrace .$$

Uočavamo da je $\uparrow A$ skup svih elemenata nosača $W$ koji su dostiživi iz $A$. Također, očito je:

Za element $w\in W$, definiramo i takozvani bazni skup, u oznaci $R[w]$, na sljedeći način:

$$R[w]=\left\lbrace v\in W\mid~ wRv\right\rbrace .$$

Sada možemo na skupu $W$ definirati familiju $\mathcal{T}_{R}$ stavljajući:

$$\mathcal{T}_{R}:=\left\lbrace A\subseteq W\mid~A=~\uparrow A\right\rbrace .$$

Jasno je da $\mathcal{T}_{R}$ definira topologiju na skupu $W$ i time smo propisali otvorene skupove u $W$.

Uočimo da je topološki prostor $\left(W,\mathcal{T}_{R}\right)$ konačno generiran. Naime, neka je $\left\lbrace A_{i}\right\rbrace _{i\in I}$ proizvoljan podskup od $\mathcal{T}_{R}$. Neka je $w\in\cap_{i\in I}A_{i}$ i $v\in W$ takav da vrijedi $wRv$. Kako je za sve $i\in I$, $w\in A_{i}$ i $A_{i}\in\mathcal{T}_{R}$, to je i $v\in A_{i}$ za sve $i\in I$ (vidi relaciju (7)). Dakle, $v\in\cap_{i\in I}A_{i}$, to jest $\cap_{i\in I}A_{i}\in\mathcal{T}_{R}$.

Iz prethodnog razmatranja možemo zaključiti da je svaki kvaziuređaj $\left(W,R\right)$, na prirodan način povezan s klasom Fin, pomoću relacije:

$$\left(W,\mathcal{T}_{R}\right)\in\textbf{Fin}.$$

Nadalje, na tom promatranom topološkom prostoru $\left(W,\mathcal{T}_{R}\right)$, možemo sada, na prirodan način, izgraditi relaciju kanonskog uređaja, koju ćemo označiti s $R_{\mathcal{T}_{R}}$, tako da za proizvoljne elemente $v,w\in W$ definiramo:

$$v R_{\mathcal{T}_{R}}w~~\iff~~ v\in\text{Cl}\left(\left\lbrace w\right\rbrace \right).$$

Vrlo se lagano, koristeći osnovna svojstva zatvarača, može provjeriti da je ovako definirana relacija $R_{\mathcal{T}_{R}}$ refleksivna i tranzitivna. Drugim riječima, kanonski uređaj ima svojstva kvaziuređaja.

Stoga, polazeći od proizvoljnog refleksivnog i tranzitivnog okvira $\textbf{W}=\left(W,R\right)$ dolazimo do činjenice da je $\left(W,\text{Cl}{T}_{R}\right)\in\textbf{Fin}$, koja nas nadalje vodi k novom kvaziuređaju $\left(W,R_{\text{Cl}{T}_{R}}\right)$. Pritom vrijedi:

Uočimo da je relacija (8) jednostavna posljedica sljedeće tvrdnje:

Relacija (9) je posljedica refleksivnosti i tranzitivnosti relacije $R$. Naime, za svaki element $v\in W$, skup $R[v]$ je otvoren u topologiji $\mathcal{T}_{R}$, što proizlazi iz tranzitivnosti relacije $R$ te (7). Ako je $v\in\text{Cl}(\lbrace w\rbrace )$, onda svaka okolina točke $v$ mora sjeći skup $\lbrace w\rbrace$. Refleksivnost relacije $R$ nam daje da je $v\in R[v]$, a time imamo da je i $w\in R[v]$, to jest imamo $vRw$. Obratno, ako vrijedi $vRw$, onda je po definiciji $w\in R[v]$. Budući je $R[v]$ zapravo najmanja otvorena okolina točke $v$, to svaka okolina točke $v$ siječe skup $\lbrace w\rbrace$. Dakle imamo da je $v\in\text{Cl}(\lbrace w\rbrace )$.

Krenimo sada od proizvoljnog topološkog prostora $\left(W,\mathcal{T}\right)$ koji je konačno generiran, to jest pretpostavimo $\left(W,\mathcal{T}\right)\in \textbf{Fin}$. Tom konačno generiranom topološkom prostoru pridružimo kvaziuređaj $\left(W,R_{\mathcal{T}}\right)$ na sljedeći način:

$$vR_{\mathcal{T}}w~~\iff~~v\in\text{Cl}(\lbrace w\rbrace ).$$

Na ovako definiranom kvaziuređaju, promatramo topologiju

$$\mathcal{T}_{R_{\mathcal{T}}}:=\left\lbrace A\subseteq W\mid~A=~\uparrow A\right\rbrace .$$

Komentirali smo ranije da je topološki prostor $(W,\mathcal{T}_{R_{\mathcal{T}}})$ konačno generiran. U ovom slučaju, kada smo krenuli od konačno generiranog topološkog prostora $\left(W,\mathcal{T}\right)$, vrijedi:

Inkluzija koja je u relaciji (10) zaista zanimljiva je

Naime, za proizvoljan topološki prostor imamo da je $\mathcal{T}\subseteq\mathcal{T}_{R_{\mathcal{T}}}$. No, pretpostavka konačne generiranosti topološkog prostora $\left(W,\mathcal{T}\right)$ potrebna je upravo za dokaz inkluzije (11). Neka je $V$ proizvoljan otvoren skup u topološkom prostoru $(W,\mathcal{T}_{R_{\mathcal{T}}})$. Neka je $v\in V$. Tvrdimo da postoji neki skup $U\in\mathcal{T}$, takav da je:

$$v\in U\subseteq V.$$

Prirodni kandidat za skup $U$ je skup $\lbrace u\in W\mid~vR_{\mathcal{T}}u\rbrace$. Zaista, iz same definicije zatvarača imamo:

$$\lbrace u\in W\mid~vR_{\mathcal{T}}u\rbrace ~=~\bigcap_{\substack{A\in\mathcal{T} \\ v\in A}}A.$$

Sada konačna generiranost topološkog prostora $\left(W,\mathcal{T}\right)$ povlači da je skup $\lbrace u\in W\mid~vR_{\mathcal{T}}u\rbrace$ otvoren u $W$. Također, vrijedi:

$$\lbrace u\in W\mid~vR_{\mathcal{T}}u\rbrace \subseteq V,$$

jer je za $u\in\lbrace u\in W\mid~vR_{\mathcal{T}}u\rbrace$ ispunjeno da je $v\in\text{Cl}(\lbrace u\rbrace )$, što povlači da svaka otvorena okolina točke $v$ nužno sadrži u sebi i točku $u$, to jest $u\in V$.

Kao posljedicu dobivamo potpunost sistema S4 u odnosu na konačno generirane topološke prostore, tj. 

Naime, krenuvši od konačno generiranog topološkog prostora $(W,\mathcal{T})$, izgradimo kvaziuređaj $(W,R_{\mathcal{T}})$, a onda tvrdnja prethodnog zadatka povlači da je za svaku modalnu formulu $\varphi$ ispunjeno

$$\left(W,R_{\mathcal{T}}\right)\Vdash\varphi~~~\iff~~~\left(W,\mathcal{T}_{R_{\mathcal{T}}}\right)\Vdash\varphi.$$

Međutim, kako smo krenuli od topološkog prostora $(W,\mathcal{T})$ koji je konačno generiran, imamo da je $\mathcal{T}=\mathcal{T}_{R_{\mathcal{T}}}$, iz čega zaključujemo (??).

No, naš cilj je bila potpunost u odnosu na sve topološke prostore, koja je također posljedica prethodnog zadatka. To iskazujemo u sljedećem teoremu.

Označimo s $\mathcal{K}$ neku klasu topoloških prostora. Kažemo da je klasa $\mathcal{K}$ modalno definabilna, ako postoji skup modalnih formula $\Gamma$ takav da za proizvoljan topološki prostor $\textbf{W}=\left(W,\mathcal{T}\right)$ vrijedi:

$$\begin{align*} \textbf{W}~\in~\mathcal{K}~~\iff~~ \textbf{W}\Vdash \Gamma. \end{align*}$$

Kako je sistem S4 potpun u odnosu na topološku semantiku, imamo da je klasa $\mathcal{K}=\textbf{Top}$ modalno definabilna i to formulom $\varphi:=\top$. Možemo kazati da formula $\varphi$ definira klasu $\textbf{Top}$. Navedimo i jedan netrivijalan primjer.

Ipak, neke važne klase topoloških prostora, kao što je klasa povezanih ili pak klasa kompaktnih topoloških prostora, nisu modalno definabilne.

Kako bismo to pokazali, koristimo neke operacije na topološkim prostorima koje čuvaju valjanost modalnih formula.

Indukcijom po složenosti modalne formule jednostavno se vidi da za svaku modalnu formulu $\varphi$ vrijedi sljedeće:

Indukcijom po stupnju složenosti modalne formule pokazuje se da za svaku modalnu formulu $\varphi$ iz $\textbf{W}\Vdash\varphi$ nužno slijedi $\mathcal{A}\Vdash\varphi$.

Nadalje, koristeći činjenicu da otvorena preslikavanja, tj. funkcije koje otvorene skupove iz domene preslikavaju u otvorene skupove u kodomeni, čuvaju valjanost modalnih formula (v. teorem 36 u [5]), može se zaključiti da ni topološki aksiomi separacije $T_{i}$, za $i\in\lbrace 0,D,1,2,3,3\frac{1}{2},4,5\rbrace$ također nisu modalno definabilni. Navedimo protuprimjer.

Iako nismo definirali sve potrebne pojmove, jer bismo time nadišli okvire ovog članka, na kraju ćemo iskazati opći teorem o modalnoj definabilnosti topoloških svojstava, koji predstavlja analogon Goldblatt-Thomasonovog teorema (v. teorem 43 u [5]).

{00}