Ključne riječi: spektar, nelinearni operator, bijekcija


Dobro je poznata važnost spektralne teorije za linearne operatore. Podsjetimo se nekih najznačajnijih osobina spektra linearnih operatora. Neka je $X$ Banachov prostor nad poljem $\mathbb{K}$ realnih ili kompleksnih brojeva.


Za svako $\lambda \in \mathbb{K}\setminus \sigma (L)$ postoji rezolventni operator $(\lambda I- L)^{-1}$ koji je ograničen.


U slučaju da $dim X\lt \infty$ onda je $\sigma(L)=\sigma_{p}(L)$. Primijetimo da $\lambda_{0}\in \sigma_{c}(L)$ povlači da operator $(\lambda_{0} I-L)$ ima inverzni operator $(\lambda_{0} I- L)^{-1}$ ali da taj nije ograničen. Situacija $\lambda_{0}\in \sigma_{r}(L)$ znači da rezolventni operator postoji, ali njegovo područje definicije nije gusto u $X$; u tom slučaju rezolventni operator može biti ograničen ili neograničen.

Slobodno govoreći, elementi $\lambda$ u subspektru $\sigma_{p}(L)$ karakteriziraju neki gubitak injektivnosti, oni iz $\sigma_{r}(L)$ neki gubitak surjektivnosti, a oni iz $\sigma_{c}(L)$ neki gubitak stabilnosti operatora $\lambda I-L$.

Ovi dijelovi spektra formiraju disjunktnu podjelu spektra $$\sigma (L)=\sigma_{p}(L)\cup \sigma_{c}(L)\cup \sigma_{r}(L).$$ Vrijedi i sljedeći teorem koji daje tzv. formulu spektralnog preslikavanja polinoma.


Spektar linearnog operatora $\sigma (L)$ ima sljedeće važne osobine:

$\bullet$	zatvoren je i ograničen skup (dakle kompaktan)
$\bullet$	neprazan je skup kad je $\mathbb{K}$ polje kompleksnih brojeva
$\bullet$	vrijedi formula spektralnog preslikavanja (2).

Kod definiranja spektra nelinearnih operatora, cilj je, po mogućnosti:

$\bullet$	u slučaju linearnog operatora da se svodi na poznati spektar (1),
$\bullet$	da ima bar neke zajedničke osobine s linearnim spektrom (npr. zatvorenost, kompaktnost),
$\bullet$	da sadrži svojstvene vrijednosti operatora.

S obzirom na definiciju (1) predstavljalo bi izazov definirati spektar neprekidnog linearnog operatora $F$ jednostavno s Ovo ćemo nazivati preslikavajući spektar operatora $F$. Preciznije mogli bismo proučavati spektar injektivnosti i spektar surjektivnosti pri čemu je $\Sigma(F)=\Sigma_{i}(F)\cup \Sigma_{s}(F)$. Međutim, u nelinearnom slučaju se pokazuje da ovaj pristup nije od neke koristi. Zapravo, ove jednostavne definicje imaju smisla samo u linearnom slučaju, jer tada imamo veoma rigidnu strukturu linearnosti, a također i tako moćno oruđe kao teorem o zatvorenm grafu koji garantira ograničenost inverza ograničenog operatora.

Pokazat ćemo primjerima da preslikavajući spektar (3) ne mora imati ni jednu od poznatih osobina linearnog spektra.

Primjer 2.1 Neka je operator $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definiran s $$F(x)=\sqrt{|x|}.$$ Odredimo spektre injektivnosti i surjektivnosti, odnosno preslikavajući spektar operatora $F$. Označimo $G(x)=(\lambda I-F)(x)=\lambda x-\sqrt{|x|}$.
a) Ispitajmo kad je ovo preslikavanje injektivno.
Za $\lambda =0$ je $G(x)=-\sqrt{|x|}$, a to nije injekcija (jer za $x\neq 0$ vrijedi $G(x)=G(-x)$). Prema tome, $0 \in \Sigma_{i}(F).$

Neka je sada $\lambda \neq 0$ i promatrajmo jednakosti $$G(x_{1})= \lambda x_{1}-\sqrt{|x_{1}|}=\lambda x_{2}-\sqrt{|x_{2}|}=G(x_{2})$$ $$\lambda (x_{1}-x_{2})=\sqrt{|x_{1}|}-\sqrt{|x_{2}|}.$$ U slučaju da su $x_{1}$ i $x_{2}$ pozitivni i $x_{1}\neq x_{2}$, vrijedi $$\lambda (\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}})(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}})=\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}}$$ $$\lambda (\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}})=1 \Rightarrow \sqrt{x_{2}}=\frac{1}{\lambda}-\sqrt{x_{1}}.$$ Iz uvjeta $\frac{1}{\lambda}-\sqrt{x_{1}}\gt 0$ dobivamo $\lambda \gt 0$ i $x_{1} \in (0,\frac{1}{\lambda^{2}}).$
U slučaju da su $x_{1}$ i $x_{2}$ negativni i $x_{1}\neq x_{2}$, vrijedi $$\lambda (-\sqrt{|x_{1}|}+\sqrt{|x_{2}|})(\sqrt{|x_{1}|}+\sqrt{|x_{2}|})=\sqrt{|x_{1}|}-\sqrt{|x_{2}|}$$ $$\lambda (\sqrt{|x_{1}|}+\sqrt{|x_{2}|})=-1 \Rightarrow \sqrt{|x_{2}|}=-\frac{1}{\lambda}-\sqrt{|x_{1}|}.$$ Rješavanjem nejednakosti $-\frac{1}{\lambda}-\sqrt{|x_{1}|}\gt 0$ dobivamo $\lambda \lt 0$ i $x_{1} \in (-\frac{1}{\lambda^{2}},0).$ Ovim smo pokazali da za proizvoljno $\lambda \gt 0$, ako uzmemo $x_{1} \in (0,\frac{1}{\lambda^{2}})$ i
$x_{2}=(\frac{1}{\lambda}-\sqrt{x_{1}})^{2}$, onda dobivamo $G(x_{1})=G(x_{2})$. To znači da za $\lambda \in (0,\infty)$ preslikavanje $G$ nije injektivno, odnosno $(0,\infty)\subseteq \Sigma_{i}(F).$ S druge strane, za proizvoljno $\lambda \lt 0$, ako uzmemo $x_{1} \in (-\frac{1}{\lambda^{2}},0)$ i $x_{2}=-(\frac{1}{\lambda}+\sqrt{|x_{1}|})^{2}$, onda opet dobivamo $G(x_{1})=G(x_{2})$. Dakle, $(-\infty,0)\subseteq \Sigma_{i}(F).$ Sveukupno, našli smo spektar injektivnosti $$\Sigma_{i}(F)=(-\infty,0)\cup \lbrace 0\rbrace \cup (0,\infty)=\mathbb{R}$$

b) Ispitajmo kad je $G$ surjektivno preslikavanje.
Za $\lambda =0$ je $G(x)=-\sqrt{|x|}$, a ovo nije surjekcija jer je $G(\mathbb{R})=(-\infty,0].$ Prema tome, $0\in \Sigma_{s}(F).$ Neka je sad $\lambda \neq 0$ i $y \in \mathbb{R}$ proizvoljno. Ispitajmo rješenja jednadžbe $$\lambda x-\sqrt{|x|}=y.$$ Nalazimo: za $\lambda \gt 0$ je $$x=\begin{cases} \frac{1+2\lambda y + \sqrt{1+4\lambda y}}{2\lambda ^{2}} & y \in [-\frac{1}{4\lambda},\infty) \\ \frac{1+2\lambda y - \sqrt{1+4\lambda y}}{2\lambda ^{2}} & y \in [-\frac{1}{4\lambda},0] \\ \frac{-1+2\lambda y+ \sqrt{1-4\lambda y}}{2\lambda ^{2}} & y \in (-\infty,0] \\ \end{cases},$$ a za $\lambda \lt 0$ je $$x= \begin{cases} \frac{1+2\lambda y - \sqrt{1+4\lambda y}}{2\lambda ^{2}} & y \in (-\infty,0] \\ \frac{-1+2\lambda y + \sqrt{1-4\lambda y}}{2\lambda ^{2}} & y \in [\frac{1}{4\lambda},0] \\ \frac{-1+2\lambda y - \sqrt{1-4\lambda y}}{2\lambda ^{2}} & y \in [\frac{1}{4\lambda}, \infty) \\ \end{cases}.$$ Tako da za $\lambda \neq 0$ i proizvoljno $y$, postoji $x \in \mathbb{R}$ takav da je $G(x)=y$; odnosno $G$ je surjekcija. Ostaje samo $\Sigma_{s}(F)=\lbrace 0\rbrace .$ Preslikavajući spektar je $$\Sigma (F)=\Sigma_{i}(F)\cup \Sigma_{s}(F)=\mathbb{R},$$ pa vidimo da nije ograničen skup.
Primjer 2.2 Neka je $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definiran s U slučaju da je $\lambda =0$, promatrajmo preslikavanje $$G(x)=-F(x)=\begin{cases} -x & \text{ ako je } |x|\gt 1,\\ -x^{2} & \text{ ako je } 0\leq x\leq 1,\\ x^{2} & \text{ ako je } -1\leq x\leq 0 \end{cases}$$ i pokažimo da je u pitanju bijekcija (vidi sliku 3).

Za $y\in (-\infty, -1)\cup (1,\infty),\quad \exists x=-y,$ tako da $G(x)=y$. Za $y\in [-1,0],\quad \exists x=\sqrt{-y},$ tako da $G(x)=y$. I za $y\in [0,1], \exists x=-\sqrt{y},\quad G(x)=y$. Dakle, $G(\mathbb{R})=\mathbb{R}$, pa je $G$ surjekcija i $0\notin \Sigma_{s}(F)$. Jasno je i da je injekcija jer iz svake jednadžbe $G(x_{1})=G(x_{2})$ slijedi da je $x_{1}=x_{2}$. Injektivnost se može dokazati i činjenicom da je $G$ neprekidna i stalno opadajuća funkcija od $+\infty$ do $-\infty$ na čitavoj realnoj osi. Dakle, $0\notin \Sigma_{i}(F)$. Kad je $\lambda =1$ imamo: $$G(x)=\begin{cases} 0 & \text{ ako je } |x|\gt 1,\\ x-x^{2} & \text{ ako je } 0\leq x\leq 1,\\ x+x^{2} & \text{ ako je } -1\leq x\leq 0. \end{cases}$$ $G_{max}=G(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$, a $G_{min}=G(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$ (vidi sliku 4).

Budući da je $G$ neprekidna funkcija, vrijedi $G(\mathbb{R})=[-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}]$, pa nije surjekcija i $1\in \Sigma_{s}(F)$. Jasno je da $G$ nije ni injekcija jer npr. $G(2)=G(3)=0$. Prema tome, $1\in \Sigma_{i}(F)$. Neka je $\lambda \in (0,1)$ (vidi sliku 5). Tada

Budući da je $G$ neprekidna funkcija na $\mathbb{R}$ i dostiže lokalni minimum za $x=-\frac{\lambda}{2}$, a lokalni maksimum za $x=\frac{\lambda}{2}$, slijedi da nije injekcija. Tako npr. za $x_{1}\in (0,\frac{\lambda}{2})$ i $x_{2}\in (\frac{\lambda}{2}, 1)$, iz jednadžbe $G(x_{1})=G(x_{2})$ dobivamo $x_{2}=\lambda -x_{1}$. Ovim smo pokazali $(0,1)\subseteq \Sigma_{i}(F)$.

Jasno je da je $G$ surjekcija jer je neprekidna funkcija i $$\lim_{x \to -\infty} G(x)= + \infty,\quad \lim_{x \to +\infty} G(x)= - \infty.$$ U slučaju $\lambda \in (1,2)$ je


tako da opet nemamo injekciju, pa $(1,2)\subseteq \Sigma_{i}(F)$. Sada je $$\lim_{x \to -\infty} G(x)= - \infty,\quad \lim_{x \to +\infty} G(x)= +\infty$$ pa $G$ jest surjekcija. Iz (7) slijedi: za $\lambda \geq 2$ je $G^{\prime}(x)\gt 0$, te $G$ stalno raste od $-\infty$ do $+\infty$; a za $\lambda \lt 0$ je $G^{\prime}(x)\lt 0$, pa $G$ stalno opada od $+\infty$ do $-\infty$ na čitavoj realnoj osi. Ovo znači, zbog neprekidnosti, da je za ovakve $\lambda$ preslikavanje $G$ bijekcija. Našli smo, konačno, spektre: $$\Sigma_{i}(F)=\Sigma (F)=(0,2), \qquad \Sigma_{s}(F)=\lbrace 1\rbrace .$$ Dakle, $\Sigma (F)$ nije zatvoren skup.


Jedna od najvažnijih osobina linearnog spektra je ta da je on uvijek neprazan u slučaju kad je $\mathbb{K}$ polje kompleksnih brojeva. Međutim, pokazuje se da ovo više ne vrijedi kad je riječ o nelinearnom operatoru.

Primjer 2.3 Neka je operator $F:\mathbb{C}^{2}\rightarrow \mathbb{C}^{2}$ definiran s Tada je preslikavanje $(\lambda I-F)(z,w)=(\lambda w-i\overline{z})$, za svako $\lambda \in \mathbb{C}$, bijekcija na $\mathbb{C}^{2}$ s inverzom $$(\lambda I-F)^{-1} (\zeta,\omega)= \left( \frac{\overline{\lambda}\zeta + \overline{\omega}}{i + |\lambda |^{2}}, -\frac{\overline{\lambda}\omega + i \overline{\zeta}}{i - |\lambda |^{2}} \right).$$ Slijedi da je: $$\Sigma_{i}(F)= \Sigma_{s}(F)=\Sigma(F)=\emptyset.$$ Prema tome preslikavajući spektar ovog nelinearnog operatora (9) je prazan skup.
Primjer 2.4 Neka je operator $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ definiran s Nije teško pokazati da je spektar $\Sigma (F)=[0,1]$. Za polinom $p(z)=z^{2}$ vrijedi $p(\Sigma (F))=[0,1]$. S druge strane, iz činjenice da je $F^{2} (x)\equiv 0$ slijedi da je $\Sigma (p(F))=\Sigma (F^{2})=\lbrace 0\rbrace$. Ovaj primjer pokazuje da ne vrijedi formula spektralnog preslikavanja (2).

Spektar injektivnosti (4) tijesno je povezan s točkovnim spektrom $$\sigma_{p} (F):=\lbrace \lambda \in \mathbb{K}: F(x)= \lambda x \text{ za neko } x\neq 0\rbrace .$$ Kao i u linearnom slučaju, elemente $\lambda \in \sigma_{p} (F)$ nazivat ćemo svojstvenim vrijednostima operatora $F$. U slučaju da je $F(0)=0$, vrijedi inkluzija $$\sigma_{p} (F)\subseteq \Sigma_{i} (F)$$ koja može biti i stroga. U Primjeru 2.1 imamo da je $\sigma_{p} (F)=\mathbb{R}\setminus \lbrace 0\rbrace \subset \mathbb{R}= \Sigma_{i}(F)$. Naravno, za linearne operatore $L$ uvijek vrijedi da je $\sigma_{p} (L)=\sigma_{i} (L)$, po definiciji.

Pogledajmo sad spektar surjektivnosti (5). Za $z\in X$ definiramo translaciju $F_{z}$ operatora $F$ s Sljedeći rezultat daje nam vezu između spektra surjektivnosti $\Sigma_{s}(F)$ i točkovnog spektra $\sigma_{p}(F_{z})$ svih translacija (10).




Za $F(x)=\sqrt{|x|}$ iz Primjera 2.1, translatirana funkcija je $F_{z}(x)=\sqrt{|x|}+z$. Budući da je za svako $z\in \mathbb{R}$ točkovni spektar $\sigma_{p}(F_{z})=\mathbb{R}\setminus \lbrace 0\rbrace$, na osnovi (11) slijedi da je $\Sigma_{s}(F)=\lbrace 0\rbrace$.

Primjer 2.5 U prostoru neprekidnih funkcija $C[0,1]$ dan je Hammersteinov integralni operator $$H(x)(s)=s^{\beta +1} \int_{0}^{1}t^{\beta} \sin x(t)dt \qquad (0\leq s\leq 1, \beta \geq 0).$$ Operator $H$ je kompozicija $H=KF$, nelinearnog operatora $F$ definiranog s $$F(x)(t)=\sin x(t)$$ i linearnog Fredholmova integralnog operatora $$Ky(s)=\int_{0}^{1} s^{\beta +1}t^{\beta}y(t)dt.$$ Odredimo točkovni spektar $\sigma_{p}(H)$. Operator $H$ je kompaktan. Za neprekidnu funkciju $x_{n}(t)\equiv n\pi\equiv 0$, pa $H(x_{n})=0=0x_{n}$. To znači da $0 \in \sigma_{p}(H)$. Razmotrimo sad jednadžbu $H(x)=\lambda x$, za $\lambda \neq 0$. Imamo $$H(x)(s)=s^{\beta +1} \int_{0}^{1}t^{\beta} \sin x(t)dt=\lambda x(s)$$ $$x(s)=cs^{\beta +1} \text{ za neko } c\neq 0.$$ Vrijedi i obrnuto, svaka funkcija $x(t)=ct^{\beta +1}$, $c \neq 0$ je svojstvena funkcija operatora $H$ koja odgovara svojstvenoj vrijednosti $\lambda =\psi(c).$ Prema tome, $$\sigma_{p}(H)=\lbrace \psi(c):c \in \mathbb{R}\setminus \lbrace 0\rbrace \rbrace .$$ Uvedimo u (12) zamjenu varijabli $ct^{\beta +1}=\tau$$dt=\frac{1}{\beta +1} c^{-\frac{1}{\beta +1}} \tau ^{-\frac{\beta}{\beta +1}}d\tau$, pa dobivamo $$\lambda =\psi (c)=\frac{1}{(\beta +1) c^{2}}\int_{0}^{c} \sin \tau d\tau =\frac{1-\cos c}{(\beta +1) c^{2}} \quad (c\neq 0).$$ Sada je $$\lim_{c \rightarrow 0} \psi (c)=\lim_{c \rightarrow 0}\frac{1-\cos c}{(\beta +1) c^{2}}= \lim_{c \rightarrow 0}\quad \frac{\sin c}{2(\beta +1) c}=\frac{1}{2(\beta +1)}.$$ Možemo dodefinirati funkciju $\psi$ u točki $0$ tako da bude neprekidna na $\mathbb{R}$: $$\widetilde{\psi}(c)= \begin{cases} \frac{1-\cos c}{(\beta +1) c^{2}} & c\neq 0, \\ \frac{1}{2(\beta +1)} & c =0. \end{cases}$$ Budući da je funkcija $\widetilde{\psi}$ neprekidna, vrijedi $$0\leq \widetilde{\psi}(c) \leq \frac{1}{2(\beta +1)}, \quad (-\infty \lt c\lt \infty),$$ pri čemu se dostižu sve vrijednosti između lijeve i desne granice. Lijeva strana nejednakosti dostiže se u točkama $c=2k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$, tj. $\psi(2k\pi)= 0$. Desna strana nejednakosti ne dobiva se ni za jedno $c\neq 0$, jer iz $\psi (c)=\frac{1}{2(\beta +1)}$ slijedi $$\frac{1}{2(\beta +1)}=\frac{1-\cos c}{(\beta +1) c^{2}}=\frac{2\sin^{2}(\frac{c}{2})}{(\beta +1) c^{2}}= \frac{1}{2(\beta +1)}\Big (\frac{\sin \frac{c}{2}}{\frac{c}{2}}\Big )^{2},$$ $$\sin \frac{c}{2}=\frac{c}{2}\Rightarrow c = 0.$$ Prema tome $\sigma_{p} (H)=\Big [0,\frac{1}{2(\beta +1)}\Big )$.


Ovim primjerima pokazali smo da nam treba drugačiji pristup pri definiranju spektra nelinearnih operatora. Za nelinearni neprekidni operator $F$ i neku klasu neprekidnih operatora $\mathcal{M}(X)$ koja sadržava $F$ možemo definirati rezolventni skup $$\rho (F)=\Big \lbrace \lambda \in \mathbb{K}: \lambda I-F \text{ je bijekcija i } (\lambda I-F)^{-1} \in \mathcal{M}(X)\Big \rbrace$$ i spektar $$\sigma (F)=\mathbb{K} \setminus \rho (F).$$ Ovisno o tome što uzmemo za klasu $\mathcal{M}(X)$ (npr. neprekidno diferencijabilni, Lipschitz neprekidni, stabilno rješivi ili epi operatori) dobivamo razne spektre. Nazive su dobivali po matematičarima koji su ih prvi uveli: Rhodius, Neuberger, Kachurovski, Feng, itd. Na ovaj način dobivaju se spektri koji imaju samo neke dobre osobine koje imaju spektri linearnog operatora. Nelinearne spektralne teorije i dalje su u razvoju, a opseg njihove primjene vrlo je širok.

U današnjoj se literaturi Fourierova transformacija najčešće prezentira čitatelju kao cjelovit samostalan izraz te se rijetko motivira čitatelja da shvati kako je sam izraz nastao (vidi [1], [3], [2]). U ovom ćemo članku pokušati objasniti pojam Fourierova reda te preko njega motivirati nastanak formule za Fourierovu transformaciju, slijedeći na taj način i sam povijesni tijek njihovih nastanaka.

Fourierova analiza proizlazi iz glavne ideje da svaku periodičku funkciju možemo zapisati kao sumu (ne nužno konačnu) sinusa različitih amplituda, faza i frekvencija. Takva suma naziva se Fourierov red (vidi npr. [6]).

Sama motivacija koju je Jean Baptiste Joseph Fourier (Slika 1) postavio je problem rješavanja parcijalne diferencijalne jednadžbe za širenja topline. Fourier je teorije o širenju topline i Fourierovu redu razvio u razdoblju od 1804. do 1807. godine te poslije objavio u svom bitnom radu O širenju topline u čvrstim tijelima objavljenom 1822. godine. Taj rad naišao je na određen otpor, ponajviše matematičara (među njima su bili i Lagrange i Laplace); razlog tomu je Fourierova tvrdnja da se sve (pa i nederivabilne) funkcije mogu razviti u trigonometrijski red. Iako derivabilnost neće biti nužan uvjet za zapisivanje funkcije kao sume sinusa, poslije će se ipak pokazati da je Fourierova tvrdnja ipak bila preambiciozna. Danas su Fourierove teorije dalje razvijene; među njima je najvažnija diskretna Fourierova transformacija (DFT) i algoritam za brzo i efikasno izračunavanje DFT-a u $O(n\log n)$ vremenu - brza Fourierova transformacija (FFT), koja je temelj velikog dijela modernih multimedijskih primjena (MP3, JPEG).

Iako je Fourierova transformacija proizašla kao rezultat proučavanja Fourierova reda, u današnjoj literaturi često se servira kao „gotov alat” i vrlo je teško shvatiti iz same formule Fourierove transformacije motivaciju za njeno nastajanje.

Struktura ovog rada sastoji se od dvaju osnovnih poglavlja. U 2. poglavlju formalno ćemo definirati Fourierov red, dok ćemo u 3. poglavlju motivirati Fourierovu transformaciju preko Fourierova reda te objasniti formulu za diskretnu Fourierovu transformaciju.


Pri razvoju funkcije u Fourierov red, uvjet je da je funkcija periodična. Prvo pitanje koje se postavlja - možemo li to napraviti i za neperiodične funkcije na nekom intervalu? Odgovor je: da, ako ih učinimo periodičnima! Tada taj interval postaje period te funkcije i ponavlja se beskonačno mnogo puta. Iako sva razmatranja koja ćemo ovdje iznijeti vrijede za periodične funkcije nekog općenitog perioda $[-L/2, L/2 ]$, u ostatku teksta ćemo zbog jednostavnosti pretpostaviti da je promatrana funkcija periodična na nekom intervalu $[-\pi, \pi ]$. Dakle, za danu funkciju (ili signal, ako je funkcija ovisna o vremenu) $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, periodičnu na $[-\pi,\pi]$, želimo pronaći brojeve $a_{0}, a_{k}, \phi_{k}\in\mathbb{R}$, za $k=1,\ldots,n$ tako da vrijedi $$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n}{a_{k}\sin{(k x+\phi_{k})}}, \quad n\ge 0.$$

U ovom izrazu $a_{k}$ ima ulogu amplitude, a $\phi_{k}$ ulogu faze za sinus funkciju frekvencije $k$. Član $\frac{a_{0}}{2}$ je poseban i on služi za translaciju funkcije duž $y$-osi (često se naziva „DC komponenta”). Ako u gornjem izrazu primijenimo adicijsku formulu za sinus funkciju, $$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta},$$

vidimo da možemo zapisati Fourierov red i drugačije: $$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n}{(a_{k}\sin{(k x)}\cos{\phi_{k}}+a_{k}\cos{(k x)}\sin{\phi_{k}})}.$$

Primijetimo da u ovoj formuli $\sin{\phi_{k}}$ i $\cos{\phi_{k}}$ ne ovise ni o varijabli $x$ ni o $k$ - to su brojevi koji su dio koeficijenata uz $\sin{(k x)}$ i uz $\cos{(k x)}$. Stoga, možemo definirati nove koeficijente $a_{k}, b_{k}\in\mathbb{R}$ u kojima će implicitno biti uključeni i $\phi_{k}$. Tako da nova formula izgleda ovako:
Traženje Fourierova reda sada se svodi na traženje koeficijenata $a_{k}$ i $b_{k}$. Primijetite da više eksplicitno ne moramo promatrati fazu pojedine sinus funkcije, već je dovoljno tražiti koeficijente (amplitude) uz sinus i kosinus.


Vrijedi li jednakost (1) za svaku periodičku funkciju i je li uistinu istina da baš svaku periodičku funkciju $f(x)$ možemo zapisati kao konačnu sumu sinusa i kosinusa različitih amplituda i frekvencija? Da bismo bolje razumjeli odgovor na ovako postavljeno pitanje, prisjetimo se elementarnih tvrdnji iz diferencijalnog računa kao što je tvrdnja da {\it zbroj svakih dviju neprekidnih funkcija mora opet biti neprekidna funkcija}, ili da je {\it zbroj dvije derivabilne funkcije opet derivabilna funkcija}, ili još jače tvrdnje da {\it zbroj svakih dviju $m$-puta derivabilnih funkcija, $m\in\mathbb{N}$, mora opet biti $m$-puta derivabilna funkcija.} I sinus i kosinus su i neprekidne i $m$-puta derivabilne funkcije pa vrijedi i da je svaka njihova konačna suma takva. Iako je dovoljno uzeti uvjet derivabilnosti, htjeli smo posebno naglasiti i slabije svojstvo neprekidnosti. Uzevši u obzir ove činjenice, čini se da je nemoguće razviti nederivabilnu funkciju u ovako definiran Fourierov red!

No, stvar prima drugačiju perspektivu kada iskoristimo činjenicu da veće frekvencije sinusa i kosinusa u sumi (1) uzrokuju oštrije rubove u rezultatnoj krivulji. Primjer toga prikazan je na slici 2 za tzv. rectangle funkciju koja je ovdje definirana na sljedeći način: $$f(x)= \begin{cases} 1, & x\in(-1,1), \\ 0, & \text{inače.} \\ \end{cases}.$$



Stoga, kada bismo dodavali sve više i više funkcija, brojač $k$ bio bi sve veći i veći i naša rezultatna krivulja sve bi bolje aproksimirala vrhove u kojima funkcija nije derivabilna. Ovaj argument iskoristiti ćrmo za motivaciju da sumu (1) preoblikujemo tako da ide u beskonačnost, na sljedeći način:
I ova se suma može bolje zapisati, prisjetimo li se Eulerove formule $$r e^{i\phi}=r(\cos{\phi}+i\sin{\phi}).$$

Formulu (2) možemo zapisati na nov način tako da uvedemo nove koeficijente $c_{k}\in\mathbb{C}$, $k\in\mathbb{Z}$. No, želimo biti sigurni da ćemo na kraju dobiti realne koeficijente. Stoga ćemo iskoristiti svojstvo da je $z+\overline{z}=2Re(z)$, gdje je $z\in\mathbb{C}$, a $\overline{z}$ oznaka za konjugirano kompleksni broj. Primijetimo da je s pomoću Eulerove formule, da bismo dobili konjugirano kompleksni broj, dovoljno za $\phi$ uzeti $-\phi$ (svojstvo neparnosti funkcije sinus). Imajući to na umu, želimo pronaći koeficijente $c_{k}$ takve da vrijedi $$c_{k} e^{ikx} + \overline{ c_{k}e^{ikx}} = a_{k} \sin(kx) + b_{k} \cos(kx),$$ što je ekvivalentno $$(\cos{(k x)}-i\sin{(k x)})\overline{c_{k}}+(\cos{(k x)}+i\sin{(k x)})c_{k}=a_{k}\sin{(k x)}+b_{k}\cos{(k x)}.$$

Nadalje, vrijedi $$\cos{(k x)}(\overline{c_{k}}+c_{k})+\sin{(k x)}(c_{k} i-\overline{c_{k}} i)=a_{k}\sin{(k x)}+b_{k}\cos{(k x)}.$$

Primijetimo da je $c_{k} i-\overline{c_{k}}i=-2Im(c_{k})$. Sada iz gornjeg izraza dobivamo sljedeće dvije jednadžbe: $$\begin{eqnarray*} a_{k}&=&-2Im(c_{k}),\\ b_{k}&=&2Re(c_{k}). \end{eqnarray*}$$

Ako prvu jednadžbu pomnožimo s imaginarnom jedinicom $i$, tj. $a_{k} i=-2Im(c_{k})i$ te joj pribrojimo drugu jednadžbu, dobivamo $$\begin{eqnarray*} b_{k}+a_{k} i&=&2Re(c_{k})-2Im(c_{k})i,\\ \overline{c_{k}}&=&\frac{1}{2}(b_{k}+i a_{k}). \end{eqnarray*}$$ Primijetite da smo se gore koristili jednakošću $Re(c_{k})-Im(c_{k})i=\overline{c_{k}}$. Nadalje, sada je lako dobiti samu vrijednost $c_{k}$.

Ako uvedemo oznaku $c_{-k}=\overline{c_{k}}$, općenitiji razvoj u Fourierov red možemo zapisati sljedećom formulom $$f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{c_{k} e^{i k x}},$$

gdje je $c_{-k}=\frac{1}{2}(b_{k}+i a_{k})$ i $c_{k}=\frac{1}{2}(b_{k}-i a_{k})$. Nulti član, „DC komponenta”, u ovom je slučaju $c_{0}=\overline{c_{0}}=\frac{a_{0}}{2}$.


U ovom poglavlju pokazat ćemo kako za danu periodičku funkciju $f(x)$ izračunati $k$-ti koeficijent $c_{k}$. Budući da je $$f(x)=\ldots+c_{k-1}e^{(k-1)x i}+c_{k} e^{k x i}+c_{k+1}e^{(k+1)x i}+\ldots,$$

dijeleći ovu jednadžbu s $e^{k x i}$ (koji je uvijek različit od nule) dobivamo $$\begin{eqnarray*} c_{k}&=&\frac{f(x)}{e^{k x i}}-(\ldots+c_{k-1}e^{-x i}+c_{k+1}e^{x i}+\ldots)\\ &=&f(x)e^{-k x i}-\sum_{j=-\infty,j\neq k}^{\infty}{c_{j}e^{(j-k) x i}}, \end{eqnarray*}$$

za $k\in\mathbb{Z}$. Sada iskoristimo činjenicu da je $c_{k}$ konstanta, tako da integrirajući obje strane po varijabli $x$ na $[-\pi,\pi]$ dobivamo $$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}{c_{k} dx}&=&\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)e^{-k x i}dx}-\int_{-\pi}^{\pi}{\sum_{j=-\infty,j\neq k}^{\infty}{c_{j}e^{(j-k) x i}}dx},\\ c_{k}\pi-(-c_{k}\pi)&=&\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)e^{-k x i}dx}-\sum_{j=-\infty,j\neq k}^{\infty}{\int_{-\pi}^{\pi}{c_{j}e^{(j-k) x i}dx}},\\ 2\pi c_{k}&=&\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)e^{-k x i}dx}-\sum_{j=-\infty,j\neq k}^{\infty}{\frac{1}{(j-k)i}c_{j}(e^{(j-k) \pi i}-e^{-(j-k) \pi i})}, \end{eqnarray*}$$

za $k\in\mathbb{Z}$. Čini se da smo dobili još kompliciraniji izraz za $c_{k}$, ali ako primijetimo da je, po Eulerovoj formuli, te jer je $(j-k)\in\mathbb{Z}$, $$e^{(j-k)\pi i}-e^{-(j-k)\pi i}=i\sin{(j-k)\pi}=0,$$

vidimo da se cijela suma poništava. Dijeleći jednadžbu s $2\pi$ dobivamo formulu za $k$-ti koeficijent Fourierova reda: $$c_{k}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(x)e^{-k x i}dx}.$$

Slično se može pokazati da vrijedi i za općenitiji interval, odnosno period, $[-L/2,L/2]$, te da tada Fourierov red glasi
s pridruženim koeficijentima
gdje je $k\in\mathbb{Z}$. Primijetimo da koeficijent $\frac{2\pi}{L}$ služi da bismo sveli sinus i kosinus funkcije na interval $[0, L]$ s periodom $L$. Time je možemo promatrati i na $[-L/2, L/2]$ s periodom $L$.


Ostaje nam samo pitanje konvergencije, koje je stoljećima predstavljalo poveći problem. Razlog tomu je alternirajuća priroda sinus i kosinus funkcije; tim svojstvom znatno je otežano promatranje konvergencije ovako definiranog reda. No, stvar otežava i promatranje Fourierove tvrdnje - da se ovako može razviti svaka, pa i nederivabilna funkcija! Rezultati promatranja ovog reda govore da je najvažniji uvjet zapravo integrabilnost funkcije koju razvijamo u Fourierov red. Što se tiče konvergencije, navest ćemo jedan važniji rezultat, a to je teorem koji govori o konvergenciji po $L^{2}$ normi:




Dakle, kvadrat razlike funkcije $f(x)$ i njene konačne aproksimacije na nekom intervalu teži u nulu. Ovakve rezultate o konvergenciji Fourierova reda dobivamo ako se koristimo općenitijim, odnosno Lebesgueovim integralom. U analizi signala $L^{2}$ integral funkcije, odnosno signala, predstavlja energiju signala. Ako je taj integral konačan, kaže se da signal ima konačnu energiju. Ovo rješenje postignuto je tek 1907. godine, što je cijelo stoljeće od prvotnog utemeljenja Fourierove analize. Ovaj teorem usko je vezan s Parsevalovim teoremom, pa se nerijetko tako i naziva.



Promatrali smo kako razviti periodičnu funkciju perioda $L$ definiranu na intervalu $[-L/2,L/2]$ u Fourierov red. No, ako pokušamo pustiti da $L$ teži u beskonačnost, tada je funkcija periodična na intervalu $(-\infty,\infty)$ s beskonačno velikim periodom (pretpostavljamo da je funkcija definirana svugdje). Ovakvim razmišljanjem čini se da možemo dobiti koeficijente i za funkciju koja je potpuno neperiodična te na taj način proširiti teoriju koja vrijedi za Fourierov red i na neperiodične funkcije. Međutim, ima li to smisla? Primijetimo da ako postavimo $L\rightarrow\infty$, ako integral ima konačnu vrijednost na $(-\infty,\infty)$, izraz (4) će otići u nulu (zbog $1/L$ ispred integrala). Stoga se čini da naivan pristup u kojemu želimo simulirati neperiodičnost s beskonačno dugim periodom ipak nema smisla, budući da će vrijednost koeficijenata težiti u nulu.

Međutim, ovakvo razmišljanje vodit će nas prema transformaciji izraza (4) za $k$-ti Fourierov koeficijent ka poznatoj formuli za Fourierovu transformaciju.

Kao prvi korak u toj transformaciji zapisat ćemo formulu (4) u obliku funkcije $F$ ovisne o varijabli $k/L$ na sljedeći način:
Tada nova formula za Fourierov red glasi:
Sada pustimo da $L\rightarrow\infty$. Primijetimo da sada varijabla $k/L$, koja je bila diskretna, prelazi u kontinuiranu. Iako bismo prvo mislili da za fiksni $k$ ovaj izraz prelazi u nulu, ideja je da je $-\infty\lt k\lt \infty$. Stoga se povećavanjem broja $L$ zapravo samo smanjuje „razmak” između vrijednosti koje varijabla prima. Drugim riječima, varijabla $k/L$ prelazi iz diskretne u kontinuiranu varijablu $s$. Sada zapišemo (5) na novi način: $$F(s)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)e^{-2\pi s x i}dx}.$$

Dobivena funkcija $F:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ naziva se Fourierovom transformacijom funkcije $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$; budući da izrazi za $F$ i $f$ sadržavaju kompleksne brojeve, i jedan i drugi daju kompleksne vrijednosti, a samim time i primaju. Promotrimo što se dogodi s formulom za Fourierov red. Budući da smo stavili $L\rightarrow\infty$, možemo primijetiti da suma u (6) prelazi u integral; $1/L$ zapravo predstavlja beskonačno malu vrijednost $ds$: $$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{F(s) e^{2\pi i s x}ds}.$$

U ovom izrazu $f(x)$ predstavlja inverznu Fourierovu transformaciju - transformaciju koja temeljeno na koeficijentima $F(s)$ za svaki $s\in\mathbb{R}$ vraća originalnu funkciju.

Bitno je primijetiti da smo Fourierovu transformaciju dobili iz jednadžbe za koeficijente Fourierova reda, dok smo inverznu Fourierovu transformaciju dobili iz same jednadžbe Fourierova reda. U sljedećem primjeru pokazat ćemo Fourierovu transformaciju za rectangle funkciju.





{\bf Napomena.} Funkcija dobivena Fourierovom transformacijom rectangle funkcije često se u analizi signala naziva sinc funkcija (vidi sliku 4) i definira na sljedeći način: $$\text{sinc}(x)=\frac{\sin{(\pi x)}}{\pi x}.$$


Ako imamo diskretan skup kompleksnih brojeva (koji smo mogli dobiti i uzorkovanjem funkcije na nekom intervalu), Fourierova transformacija koja je definirana za kontinuiran skup nam ne odgovara. Tada definiramo DFT na sljedeći način: koja niz $f_{0}, \ldots , f_{n-1}$ kompleksnih brojeva pretvara u niz $F_{0}, \ldots , F_{n-1}$ kompleksnih brojeva s pripadajućim inverzom koja kompleksne brojeve $F_{0}, \ldots , F_{n-1}$ pretvara u kompleksne brojeve $f_{0}, \ldots , f_{n-1}$.

Primijetite da su u izrazima (7) i (8) diskretne vrijednosti u kojima evaluiramo funkciju $f(x)$, npr. $x_{0},\ldots,x_{n-1}$, te funkciju $F(s)$, npr. $s_{0},\ldots,s_{n-1}$, potpuno zamijenjene indeksima $k = 0,\ldots,n-1$ i $j=0,\ldots,n-1$ na uzorku veličine $n$ na način da definiramo $F(s_{j})=F_{j}$ te $f(x_{k})=f_{k}$. Nadalje, u eksponentu Eulerove konstante $e$ umnožak dvaju odgovarajućih uzoraka $x_{k}s_{j}$ bit će jednak $kj/n$, budući da bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da uzorkujemo funkcije $f(x)$ s nekog intervala uzorkovanja oblika $[0,L]$ duljine $L$ s uzorcima $x_{k}=k/B$, te $F[s]$ s nekog intervala uzorkovanja oblika $[0,B]$ duljine $B$ s uzorcima $s_{j}=j/L$. Uzorci $x_{k}$ i $s_{j}$ uzimaju se tako da vrijedi $$n\cdot \frac{1}{B} = L \text{ tj. } n\cdot \frac{1}{L} = B.$$
Budući da su ovako definirane dvije Fourierove transformacije inverz jedna drugoj, nije nam nužno strogo definirati jednu od tih transformacija izričito kao inverz. Stoga se u literaturi (kao i za općenitu Fourierovu transformaciju), uglavnom radi jednostavnosti, inverzi označavaju različito. Tako se (8) u analizi signala češće koristi kao DFT, a (7) kao inverz (uz promjenu predznaka u eksponentu od e). To ne predstavlja problem, jer se ionako svi računi obavljaju slično.


Fourierov red, a posebice Fourierova transformacija u današnje su vrijeme jedan od najčešće korištenih matematičkih alata, a time i predmet brojnih šala na račun matematičara i inženjera (vidi sliku 5).

Značenje Fourierove transformacije je višestruko i ovisno o primjeni. Česta je primjena kada se funkcija - signal, koja je definirana na cijelom realnom pravcu, pretvara u funkciju koja za određenu frekvenciju $k$ vraća $F(s)$, vrijednost iz koje možemo saznati informacije o amplitudi i fazi za frekvenciju $s$. Mnogo je operacija lakše obavljati preko Fourierove transformacije funkcije, među njima je najbitnija konvolucija. Jednako tako, Fourierova transformacija ima puno svojstava koja olakšavaju analiziranje funkcije - signala (vidi [1], [5]).

Ovaj rad je rezultat uvodne diskusije diplomskog rada „Brza Fourierova transformacija i primjene” studenta S. Poljaka napisanog pod mentorstvom D. Matijevića.

 

Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala je tehnika koja je često korisna u izračunavanju integrala funkcija jedne realne varijable. Prije nego što krenemo s primjerima, navedimo osnovne teoreme kojima ćemo se koristiti.


Što se tiče diferenciranja pod znakom integrala koji je neodređen, osobitu ulogu ima pojam uniformne konvergencije integrala.

Naime, ako postoji integral $I(y)=\int_{a}^{\infty}f(x,y)\, dx$ (definiran kao $\lim_{b\to\infty}\int_{a}^{b}f(x,y)dx$) za $y\in Y$ i za svaki $\varepsilon\gt 0$ postoji $b_{0}\ge a$ koji ne ovisi o $y$, takav da za $b\gt b_{0}$ vrijedi

$$\left|\int_{a}^{\infty}f(x,y)\, dx-\int_{a}^{b}f(x,y)\, dx\right|=\left|\int_{b}^{\infty}f(x,y)\, dx\right|\lt \varepsilon\text{ za sve } y\in Y,$$
tada kažemo da integral $I(y)$ konvergira uniformno po $y\in Y$.

Za dokazivanje uniformne konvergencije integrala koriste se razni kriteriji. Mi ćemo navesti dva.






Sljedeći teorem daje dovoljne uvjete za prijelaz limesa pod znak integrala.


Što se tiče diferenciranja pod znakom neodređenog integrala, pokazuje se da i u ovom slučaju vrijedi Leibnizovo pravilo.


Za potrebe integracije pod znakom integrala navodimo sljedeće teoreme.




Dokazi navedenih tvrdnji lako se mogu izvesti iz rezultata iz naprimjer [2, 3].


U sljedećim primjerima prikazana je primjena diferenciranja i integriranja pod znakom integrala. Pritom su neki zadaci detaljno riješeni dok su ponegdje dijelovi rješenja ostali neprikazani - čitatelju se savjetuje da sam pokuša napraviti potrebne dopune.

Ako nije naveden izvor zadatka, on je zajedno s rješenjem preuzet iz [3].









U nastavku slijede primjeri primjene integracije pod znakom integrala u rješavanju zadataka. Najprije ćemo ovu tehniku primijeniti na već dane primjere 10 i 12, a zatim i na jedan poznati rezultat iz analize.








Čitatelj može predstavljene metode primijeniti na sljedeće zadatke koji su ostavljeni za vježbu.




za $0\lt p\lt 1$.

Tradicionalna „$\epsilon-\delta$” definicija limesa realne funkcije jedne realne varijable (vidi npr. [2], [3]) dosta je apstraktna za mnoge studente koji se prvi put s njom susreću. Iz tog se razloga u radu [1] predlaže alternativna definicija limesa funkcije, koja bi trebala biti intuitivnija za početnike. Naime, autor tog članka mišljenja je da je jednostavnije geometrijski interpretirati Definicije 1 i 8 (navedene u ovom radu) nego tradicionalnu „$\epsilon-\delta$” definiciju. Alternativna definicija limesa funkcije dobiva se kombinacijom dviju dobro poznatih činjenica, koje su u sadašnjoj aksiomatici jednostavne posljedice tradicionalne „$\epsilon-\delta$” definicije (vidi Definiciju 1). Jedna od tih činjenica (svojstvo (2) iz Definicije 1) u novoj aksiomatici postaje fundamentalno svojstvo limesa funkcije.

U ovom radu promatramo realne funkcije realne varijable i, slijedeći [1], definiramo $\lim f(x)$ kada $x$ teži $\infty$. Potpuno analogno može se definirati $\lim f(x)$ kada $x$ teži $c+$ i $c-$, za $c \in \mathbb{R}$, te kada $x$ teži $-\infty$. Također, uz manje modifikacije, moguće je dati i definiciju beskonačnog limesa (tj. $\lim f(x)=\pm \infty$).

Limes funkcije možemo shvatiti kao preslikavanje s klase realnih funkcija u realne brojeve. Slijedeći [1], definiramo to preslikavanje i maksimalnu klasu funkcija na kojoj je to preslikavanje definirano, tako da je osnovno svojstvo limesa (svojstvo (2) iz Definicije 1) zadovoljeno. To radimo u tri koraka:

1)	definiramo limes za monotone ograničene funkcije,
2)	definiramo klasu konvergentnih funkcija (tj. dajemo novo značenje pojmu konvergencije - kasnije pokazujemo da se podudara s tradicionalnim pojmom konvergencije (vidi teoreme 16 i 17)),
3)	proširujemo definiciju limesa na sve konvergentne funkcije.

Nadalje, pokazujemo da iz te definicije limesa jednostavno slijede uobičajena svojstva limesa (teorem 15), te da je ova definicija limesa ekvivalentna tradicionalnoj „$\epsilon-\delta$” definiciji (teoremi 16 i 17).

Za $a \in \mathbb{R}$, u ovom radu s $(a,\infty)$ označujemo otvoreni interval $\lbrace x \in \mathbb{R} | \ x\gt a \rbrace$.




U ovom poglavlju promatramo klasu funkcija koje su monotone i ograničene na nekoj okolini beskonačnosti: $$BM(\infty) = \lbrace f| \text{ postoji } a \in \mathbb{R} \text{ takav da je } f \text{ monotona i ograničena na intervalu } (a,\infty)\rbrace$$ i definiramo pojam limesa na toj klasi.



Umjesto $L(f) = \lambda$, često ćemo se koristiti uobičajenom notacijom „$\lim_{x \to \infty} f(x) =\lambda$” ili „$f(x)\to\lambda \text{ kada } x\to \infty$ ”. Ako je $f$ rastuća (odnosno padajuća), pišemo $f(x)\nearrow \lambda$ kada $x \to \infty$ (odnosno $f(x)\searrow \lambda$ kada $x\to \infty$).

Sada pokazujemo da postoji jedinstveno preslikavanje sa svojstvima iz Definicije 1.










Tvrdnje sljedećeg korolara jednostavno slijede iz definicije limesa na klasi $BM(\infty)$, dane u dokazu Teorema 2:



Tvrdnje sljedećeg korolara jednostavno slijede iz Teorema 5:



U ovom poglavlju uvodimo pojam limesa na širu klasu funkcija.






Vrijede sljedeća poopćenja teorema 3 i 4 na klasu $C(\infty)$:




Dokazi teorema 11 i 12 identični su dokazima teorema 3 i 4.

Tvrdnje sljedećih lema jednostavno slijede iz Definicije 8 i odgovarajućih tvrdnji na klasi $BM(\infty)$ (korolari 6 i 7):




U sljedećem teoremu navodimo uobičajena svojstva limesa s obzirom na zbrajanje, množenje i dijeljenje funkcija:








Teoremi 16 i 17 pokazuju da je definicija limesa funkcije iz ovog rada ekvivalentna uobičajenoj definiciji limesa funkcije.