U prostranstvu cjelobrojnih nizova Fibonaccijev niz ne gubi svoj sjaj već više od osam stoljeća, točnije od kad se pojavio u knjizi Liber Abaci talijanskog matematičara Leonarda Bonaccija1 poznatog i kao Leonardo Pisano, a najpoznatijeg kao Fibonacci. Bez pretjerivanja, riječ je o jednom od najpoznatijih nizova koji privlači i fascinira kako profesionalce tako i potpune amatere. Nadalje, neprestano iznenađuje sa svojom prisutnošću u očekivanim, ali i potpuno neočekivanim situacijama. O Fibonaccijevim brojevima postoji vrlo velika količina informacija, mnoštvo publikacija, knjiga, te internetskih sadržaja. U ovom radu pokazat ćemo i dokazati neke zanimljive identitete vezane uz Fibonaccijeve brojeve koristeći jednostavnu algebru matrica i determinanti. Između ostalog, pokazujemo i poznati Cassinijev2 identitet koji se se može povezati s problemom popločavanja. Zbog mlađeg čitateljstva navest ćemo osnovna svojstva Fibonaccijevog niza, te osnovne pojmove iz linearne algebre.

Fibonaccijev niz je niz brojeva

$$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots.$$

Niz bi s lakoćom nastavili članom 89 koji je zbroj prethodna dva. Iskažimo njegovu matematičku definiciju.

Napomenimo da se ponekad za početne vrijednosti niza uzimaju vrijednosti $F_{0}=0$ i $F_{1}=1$.

U već spomenutoj knjizi Liber Abaci taj niz predstavlja rješenje problema o razmnožavanju zečeva. Pretpostavimo da $1.$ siječnja raspolažemo s jednim parom zečeva. Taj par dobiva po jedan par mladih zečeva svakog prvog dana u mjesecu, počevši od $1.$ ožujka. Svaki novi par dobiva po jedan par zečeva svakog prvog dana u mjesecu, ali tek nakon navršena dva mjeseca života. Problem je koliko će parova zečeva biti nakon $n$ mjeseci. Odgovor je upravo $n$-ti Fibonaccijev broj $F_{n}$.

Eksplicitno, Fibonaccijeve brojeve možemo izračunati pomoću formule

$$F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n}-\beta^{n}),$$

pri čemu su $\alpha$ i $\beta$ korijeni takozvane zlatne jednadžbe

$$x^{2}-x-1=0,$$

to jest

$$\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.$$

Konstanta $\alpha$ poznatija je pod nazivom zlatni rez.

Uz Fibonaccijev niz često se veže i Lucasov3 niz $(L_{n})$ koji je definiran istom rekurzijom (1).

Predodžbe radi, prvih nekoliko članova Lucasova niza su

$$2,1,3, 4, 7, 11, 18, \ldots .$$

Eksplicitno ih računamo pomoću formule

$$L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}.$$

Fibonaccijevi i Lucasovi brojevi zadovoljavaju različite algebarske identitete. Budući da su generirani rekurzivnim relacijama (1) i (2), prirodno je takve identitete dokazivati pomoću principa matematičke indukcije. Prisjetimo ga se. Ako je neka tvrdnja točna za broj 1 i ako iz pretpostavke da tvrdnja vrijedi za prirodni broj $n$ slijedi da je ispravna i za sljedeći broj $n+1$, tada ona vrijedi za svaki prirodni broj $n$.

Kao primjer navodimo osnovnu relaciju koja povezuje Fibonaccijeve i Lucasove brojevi, to jest

za $n\geq 1$. Jednakost pokazujemo pomoću principa matematičke indukcije. Za $n=1$ jednakost vrijedi jer je

$$F_{0}+F_{2}=1=L_{1}.$$

Pretpostavimo sada da jednakost vrijedi za $n=k$, odnosno $L_{k}=F_{k-1}+F_{k+1}$. Za $n=k+1$ imamo

$$\begin{align*} F_{k}+F_{k+2}=&F_{k-1}+F_{k-2}+F_{k+1}+F_{k} =(F_{k-1} + F_{k+1} + (F_{k-2} + F_{k}) =L_{k}+L_{k-1} =L_{k+1}, \end{align*}$$

što je i trebalo pokazati.
U onom što slijedi pokazat ćemo kako možemo dokazati i izvesti još identiteta s Fibonaccijevim i Lucasovim brojevima koristeći elementarna svojstva matrica.

Matrica reda 2 je kvadratna shema koja se sastoji od 4 elementa posložena u 2 retka i 2 stupca. Simbolički ju zapisujemo kao

$$A=\left( \begin{array}{rr} a_{11} &a_{12} \\\ a_{21} &a_{22} \end{array} \right).$$

Elementi matrice $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{21}$, $a_{22}$ su najčešće realni brojevi, pa takvu matricu nazivamo realnom. Elementi matrice su indeksirani tako da nas upućuju na kojoj se poziciji u matrici nalaze. Tako se element $a_{21}$ nalazi na presjeku drugog retka i prvog stupce. Na skupu svih matrica reda 2 jednostavno uvodimo dvije operacije, zbrajanje matrica i množenje matrica skalarom (realnim brojem). Te se operacije izvršavaju prirodno, 'po elementima'. Dakle,

$$A+B=\left( \begin{array}{rr} a_{11} &a_{12} \\\ a_{21} &a_{22} \end{array} \right)+\left( \begin{array}{rr} b_{11} &b_{12} \\\ b_{21} &b_{22} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rr} a_{11}+b_{11} &a_{12}+b_{12} \\\ a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22} \end{array} \right),$$ $$\alpha\cdot A=\alpha\left( \begin{array}{rr} a_{11} &a_{12} \\\ a_{21} &a_{22} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rr} \alpha a_{11} &\alpha a_{12} \\\ \alpha a_{21} &\alpha a_{22} \end{array} \right).$$

Na primjer,

$$\left(\begin{array}{rr} 1 &2 \\\ 3 &4 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{rr} -4 &-3 \\\ -2 &-1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rr} -3 &-1 \\\ 1 &3 \end{array} \right),$$ $$3\left( \begin{array}{rr} 1 &2 \\\ -1 &0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rr} 3 &6 \\\ -3 &0 \end{array} \right).$$

Množenje matrica ne ćemo definirati po analogiji i to je prilično neočekivano. Umnožak ili produkt dviju matrica definiramo na sljedeći način

$$A\cdot B=\left( \begin{array}{rr} a_{11} &a_{12} \\\ a_{21} &a_{22} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{rr} b_{11} &b_{12} \\\ b_{21} &b_{22} \end{array} \right)= \left(\begin{array}{rr} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} &a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} &a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{array}\right).$$

Na primjer,

$$\left(\begin{array}{rr} 1 &2 \\\ 3 &4 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{rr} -4 &-3 \\\ -2 &-1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rr} -8 &-5 \\\ -20 &-13 \end{array}\right).$$

Zbog ovakve 'neobične' definicije i množenje matrica imat će neka 'neobična' svojstva. Na primjer, općenito ne će vrijediti svojstvo komutativnosti.

Uz matricu reda 2 često vežemo i pojam determinante. To je broj koji pridružujemo matrici, a definiramo ga kao

$$\det A=|A|= a_{11} a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

Zahvaljući 'neobično' definiranom množenju matrica vrijedit će sljedeće važno svojstvo, u matematici poznatije kao Binet-Cauchyjev teorem,

$$|A\cdot B|=|A|\cdot|B|.$$

Provjerimo to na gornjem primjeru,

$$\left|\begin{array}{rr} 1 &2 \\\ 3 &4 \end{array} \right|=-2,\ \left| \begin{array}{rr} -4 &-3 \\\ -2 &-1 \end{array} \right|= -2,\left| \begin{array}{rr} -8 &-5 \\\ -20 &-13 \end{array}\right|=4.$$

Matricu $Q$ definirat ćemo kao

$$Q=\left( \begin{array}{rr} 1 &1 \\\ 1 &0 \end{array} \right).$$

Primijetimo da je determinanta matrice $Q$ jednaka $|Q| =-1$. Nadalje, vrijedi

$$Q^{2}= \left( \begin{array}{rr} 1 &1 \\\ 1 &0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 &1 \\\ 1 &0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 2 &1 \\\ 1 &1 \end{array} \right),$$ $$Q^{3}=\left( \begin{array}{rr} 1 &1 \\\ 1 &0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 2 &1 \\\ 1 &1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 3 &2 \\\ 2 &1 \end{array} \right),$$ $$Q^{4}= \left( \begin{array}{rr} 1 &1 \\\ 1 &0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 3 &2 \\\ 2 &1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rr} 5 &3 \\\ 3 &2 \end{array} \right).$$

Uočimo da se u matricama $Q^{2}$, $Q^{3}$, $Q^{4}$ pojavljuju Fibonaccijevi brojevi. Nije teško pretpostaviti kako će izgledati matrica $Q^{n}$.

Pomoću Teorema 3 dokazujemo poznatu Cassinijevu formulu za Fibonaccijeve brojeve.

Kombinatorni dokaz i interpretaciju jednakosti (5) dat ćemo u sljedećem poglavlju. Nadalje, kao posljedicu Teorema 3 imamo i sljedeće četiri jednakosti:

Neka je $m=n$. Tada jednakost (6) daje formulu za računanje Fibonaccijevih brojeva s neparnim indeksom

$$F_{n}^{2} +F_{n+1}^{2} =F_{2n+1},$$

a jednakost (6) formulu za računanje Fibonaccijevih brojeva s parnim indeksom

$$F_{2n}=F_{n+1} F_{n} + F_{n} F_{n-1}=F_{n} (F_{n+1}+F_{n-1}),$$

odnosno

$$F_{2n}=F_{n}L_{n}.$$