P	U	S	Č	P	S	N
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Gelfand-Mazurov teorem i osnovni teorem algebre

Ilja Gogić, Mateo Tomašević

I. Gogić, PMF-Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu, Bijenička 30, 10000 Zagreb, Hrvatska

M. Tomašević, PMF-Matematički odsjek, Sveučilište u Zagrebu, Bijenička 30, 10000 Zagreb, Hrvatska

Sažetak

U ovom preglednom radu prezentiramo relativno elementaran dokaz slavnog Gelfand-Mazurovog teorema, koji kaže da je svaka kompleksna normirana algebra s dijeljenjem izomorfna algebri kompleksnih brojeva

$\mathbb{C}$ , te pomoću njega dajemo kratak dokaz Osnovnog teorema algebre.

1Uvod

(GMT u daljnjem), nazvan prema sovjetskom matematičaru I. Gelfandu i poljskom matematičaru S. Mazuru, je fundamentalni teorem teorije Banachovih algebri koji kaže da je svaka kompleksna normirana algebra s dijeljenjem izomorfna algebri kompleksnih brojeva $\mathbb{C}$ . Taj rezultat je najprije na\-javio S. Mazur 1938. godine u [6], a zatim ga je dokazao I. Gelfand 1941. godine u [3].

GMT se obično iskazuje za Banachove algebre (tj. za potpune normirane algebre) te se standardno dokazuje koristeći Liouvilleov teorem iz kompleksne analize. U ovom preglednom radu ćemo najprije prezentirati relativno elementaran dokaz GMT-a (Teorem 8) kojeg je, uz dodatnu pretpostavku komutativnosti algebre, dao japanski matematičar S. Kametani u [5]. U tom dokazu se od funkcijskih metoda koristi samo koncept neprekidnosti. Kao što ćemo vidjeti, Kametanijev dokaz prolazi i bez pretpostavke komutativnosti algebre, odakle jednostavno slijedi da je svaka konačnodimenzionalna kompleksna algebra s dijeljenjem izomorfna s $\mathbb{C}$ (Korolar 12). Koristeći opservaciju španjolskog matematičara J. Almirae (vidjeti [1]), kao jednostavnu posljedicu te činjenice dobivamo još jedan dokaz Osnovnog teorema algebre (Teorem 14).

2Pregled osnovnih pojmova

Za vektorski prostor $A$ nad poljem $\mathbb{F}$ kažemo da je , ako je na $A$ zadana operacija množenja, tj. asocijativna binarna operacija

$A \times A \to A, \qquad (x,y) \mapsto xy$

koja zadovoljava

$(\lambda x+ \mu y)z=\lambda(xz)+\mu(yz) \qquad \text{i} \qquad x(\lambda y+ \mu z)=\lambda (xy)+ \mu(xz)$

za sve $\lambda,\mu \in \mathbb{F}$ te $x,y,z \in A$ .

Za elemente $x,y \in A$ kažemo da ako vrijedi $xy=yx$ . Ako svi elementi u $A$ komutiraju, onda kažemo da je $A$ .

Za algebru $A\neq \lbrace 0\rbrace$ kažemo da je (ili ) ako $A$ sadrži element $1_{A}$ sa svojstvom

$1_{A}x=x1_{A}=x \qquad \forall x\in A.$

U tom slučaju element $1_{A}$ se zove u $A$ i ona je jedinstvena.

Ako je $A$ unitalna algebra, tada za element $x \in A$ kažemo da je ako postoji element $x^{-1}\in A$ takav da je

$x^{-1}x=xx^{-1}=1_{A}.$

Element $x^{-1}$ , ako postoji, je jedinstven i zovemo ga od $x$ . Skup svih invertibilnih elemenata algebre $A$ označavamo s $A^{\times}$ . Primijetimo da je $A^{\times}$ grupa s obzirom na operaciju množenja.

Napomena 1. Neka je

$A$ unitalna algebra. Ako elementi

$x,y \in A$ komutiraju i ako je

$y \in A^{\times}$ , onda također komutiraju elementi

$x$ i

$y^{-1}$ . Naime

$xy=yx$ je ekvivalentno s

$y^{-1}x=xy^{-1}$ .

Ako je $A$ unitalna algebra takva da vrijedi $A^{\times}=A\setminus \lbrace 0\rbrace$ , tj. ako je svaki nenul element u $A$ invertibilan, onda kažemo da je $A$ . Primijetimo da ako je $A$ komutativna algebra s dijeljenjem tada je $A$ polje koje sadrži $\mathbb{F}$ kao potpolje (nakon identifikacije $\mathbb{F}$ s $\mathbb{F} 1_{A} \subseteq A$ ).

Neka je $A$ algebra. Za potprostor $I$ od $A$ kažemo da je (ili samo ) u $A$ ako vrijedi

$IA=\lbrace xy : \, x \in I, y \in A\rbrace \subseteq I \qquad \text{i} \qquad AI=\lbrace xy : \, x\in A, y \in I\rbrace \subseteq I.$

Očito su $\lbrace 0$ } i $A$ ideali u $A$ koje zovemo . Ako $A$ nema netrivijalnih ideala onda kažemo da je $A$ prosta.

Napomena 2. Neka je

$A$ unitalna algebra. Tada

$A$ možemo promatrati kao (unitalni) prsten, tako da zaboravimo na dodatnu strukturu. Ako je

$I \subseteq A$ , onda je

$I$ ideal algebre

$A$ ako i samo ako je

$I$ ideal prstena

$A$ . Zaista, neka je

$I$ ideal prstena

$A$ . Tada za

$\lambda \in \mathbb{F}$ i

$x \in I$ imamo

$\lambda x = \lambda (1_{A} x)=(\lambda 1_{A}) x \in I.$ Dakle,

$I$ je potprostor od

$A$ pa stoga ideal algebre

$A$ . Obrat je trivijalan.

Napomena 3. Neka je

$A$ unitalna algebra i neka je

$I\neq A$ ideal u

$A$ . Tada vrijedi

$1_{A}\not\in I$ . štoviše,

$I$ ne sadrži niti jedan invertibilni element, tj.

$I \cap A^{\times} = \emptyset$ . Posebno, ako je

$A$ algebra s dijeljenjem, tada je

$A$ prosta algebra.

Neka je $I$ ideal u algebri $A$ . U kvocijentni vektorski prostor $A/I$ uvodimo operaciju množenja na sljede\' ci način:

$(x+I)(y+I):=xy+I \qquad (x,y \in A).$

Iz činjenice da je $I$ (obostrani) ideal lako vidimo da ta definicija ima smisla, odnosno da ne ovisi o izboru predstavnika $x$ i $y$ klasa kvocijentnog prostora. S tako definiranim množenjem $A/I$ postaje algebra koja se zove algebre $A$ po idealu $I$ . Ako je $1_{A}$ jedinica u algebri $A$ , očito je njena klasa $1_{A}+I$ jedinica u kvocijentnoj algebri $A/I$ .

Napomena 4. Za ideal

$M\neq A$ algebre

$A$ kažemo da je maksimalan, ako

$M$ nije sadržan niti u jednom drugom idealu u

$A$ različitom od

$A$ . Ako je

$A$ unitalna komutativna algebra, tada se lako vidi da je ideal

$M$ u

$A$ maksimalan ako i samo ako je

$A/M$ polje (vidjeti npr. [7, Teorem 6.19]). Posebno, unitalna komutativna algebra

$A$ je prosta ako i samo ako je

$A$ polje.

Primjer 5. Neka je

$\mathbb{F}$ polje.

$\bullet$

[(a)] Promotrimo algebru polinoma

$\mathbb{F}[X]$ nad

$\mathbb{F}$ u jednoj varijabli

$X$ . Tada je

$\mathbb{F}[X]$ unitalna komutativna algebra, pri čemu je jedinica u

$\mathbb{F}[X]$ konstantni polinom

$1$ . Kao što znamo,

$\mathbb{F}[X]$ je kao prsten domena glavnih ideala (npr. vidjeti [7, Teorem 8.9]). Drugim riječima, svaki ideal

$I$ prstena

$\mathbb{F}[X]$ (pa prema Napomeni 2 i algebre

$\mathbb{F}[X]$ ) je glavni, odnosno oblika

$I=\langle p \rangle =p(X)\mathbb{F}[X]$ za neki polinom

$p \in \mathbb{F}[X]$ . Nadalje, ideal

$I=\langle p \rangle$ je maksimalan ako i samo je polinom

$p$ ireducibilan, tj.

$p$ se ne može prikazati kao produkt dva nekonstanta polinoma u

$\mathbb{F}[X]$ (za detalje vidjeti [4, Sections III.5, III.6]). Prema Napomeni 4 to je ekvivalentno činjenici da je kvocijentna algebra

$\mathbb{F}[X]/\langle p \rangle$ polje.

$\bullet$

[(b)] Neka je

$V$ konačnodimenzionalni vektorski prostor nad

$\mathbb{F}$ . Promotrimo skup

$\text{End}_{\mathbb{}}{F}(V)$ svih linearnih operatora s

$V$ u

$V$ . Tada je

$\text{End}_{\mathbb{}}{F}(V)$ unitalna algebra nad

$\mathbb{F}$ s obzirom na operacije

$(\lambda T)v:=\lambda(T v), \quad (T_{1}+T_{2})(v):=T_{1}v+T_{2}v \quad \text{i} \quad (T_{1}T_{2})(v):=T_{1}(T_{2}v),$ gdje su

$T_{1},T_{2} \in \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V)$ ,

$v \in V$ te

$\lambda \in \mathbb{F}$ . Jedinica u

$\text{End}_{\mathbb{}}{F}(V)$ je jedinični operator. Lako se provjeri da je

$\text{End}_{\mathbb{}}{F}(V)$ prosta algebra koja je nekomutativna čim je

$\dim V \gt 1$ .

je algebra $A$ nad poljem $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ ili $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ na kojoj je zadana , tj. norma $\Vert \cdot\Vert$ takva da vrijedi

$\Vert xy\Vert \leq \Vert x\Vert \Vert y\Vert \qquad \forall x,y \in A.$

Napomena 6. Neka je

$A$ normirana algebra.

$\bullet$	[(a)] Operacija množenja $(x,y)\mapsto xy$ je neprekidna kao funkcija $A \times A \to A$ . To slijedi direktno iz nejednakosti $\begin{eqnarray} \Vert xy-x'y'\Vert & = & \Vert x(y-y')+(x-x')y'\Vert \leq \Vert x(y-y')\Vert + \Vert (x-x')y'\Vert \\ &\leq& \Vert x\Vert \Vert y-y'\Vert + \Vert x-x'\Vert \Vert y'\Vert , \end{eqnarray}$ gdje su $x,x',y,y' \in A$ .
$\bullet$	[(b)] Ako je $A$ unitalna, tada je $\Vert 1_{A}\Vert \geq 1$ . To slijedi direktno iz nejednakosti $\Vert 1_{A}\Vert =\Vert 1_{A}^{2}\Vert \leq \Vert 1_{A}\Vert ^{2}$ i činjenice da je $\Vert 1_{A}\Vert \neq 0$ (jer je $1_{A} \neq 0$ ).

Primjer 7. Neka je

$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ ili

$\mathbb{F}=\mathbb{C}$ .

$\bullet$	[(a)] Algebra polinoma $\mathbb{F}[X]$ nad $\mathbb{F}$ u jednoj varijabli $X$ (Primjer 5 (a)) postaje normirana algebra s obzirom na sup-normu po jediničnoj kugli u $\mathbb{F}$ : $\Vert p\Vert := \sup\lbrace \|p(\lambda)\| :\, \|\lambda\|\leq 1\rbrace .$
$\bullet$	[(b)] Neka je $V$ konačnodimenzionalni normiran prostor nad poljem $\mathbb{F}$ . Tada algebra $\text{End}_{\mathbb{}}{F}(V)$ (Primjer 5 (b)) postaje normirana algebra s obzirom na operatorsku normu $\Vert T\Vert _{o}:=\sup\lbrace \Vert Tx\Vert : \, \Vert x\Vert \leq 1\rbrace \qquad (T \in \text{End}_{\mathbb{}}{F}(V))$ (vidjeti npr. [9, Teorem 2.24]).

3Dokaz Gelfand-Mazurovog teorema

Najprije iskažimo Gelfand-Mazurov teorem.

Teorem 8. [Gelfand-Mazurov teorem] Neka je

$A$ kompleksna normirana algebra s dijeljenjem. Tada je

$A = \mathbb{C}1_{A} = \lbrace \lambda 1_{A} : \, \lambda \in \mathbb{C}\rbrace .$

U dokazu Teorema 8 koristit ćemo dva pomoćna rezultata, Leme 9 i 11. Napomenimo da za $x_{0} \in A$ i $r \gt 0$ s $K(x_{0},r)$ i $\overline{K}(x_{0},r)$ redom označavamo otvorenu i zatvorenu kuglu oko $x_{0}$ radijusa $r$ , tj.

$K(x_{0},r)=\lbrace x \in A : \, \Vert x-x_{0}\Vert \lt r\rbrace \qquad \text{i} \qquad \overline{K}(x_{0},r)=\lbrace x \in A : \, \Vert x-x_{0}\Vert \leq r\rbrace .$

Nadalje, za $x \in A$ i polinom $p \in \mathbb{C}[z]$ , $p(z)=\alpha_{0} +\alpha_{1} z+ \ldots + \alpha_{n} z^{n}$ , definiramo

$p(x):=\alpha_{0} 1_{A} + \alpha_{1} x+ \ldots + \alpha_{n} x^{n} \in A.$

Lema 9. Neka je

$A$ normirana algebra s dijeljenjem. Tada je invertiranje

$x \mapsto x^{-1}$ neprekidno, kao funkcija

$A^{\times} \to A^{\times}$ .

Dokaz. Neka je

$x \in A^{\times}$ proizvoljan i neka je

(1)

$y \in K\left(x,\frac{1}{2\Vert x^{-1}\Vert }\right).$

Primijetimo da je

$y \in A^{\times}$ , jer bismo u protivnom imali

$y=0$ pa bi (1) povlačilo

$\Vert 1_{A}\Vert =\Vert xx^{-1}\Vert \leq \Vert x\Vert \Vert x^{-1}\Vert \lt \frac{1}{2},$ što je kontradikcija s Napomenom 6 (b). Imamo

$\Vert y^{-1}\Vert - \Vert x^{-1}\Vert \le \Vert y^{-1}-x^{-1}\Vert = \Vert y^{-1}(x-y)x^{-1}\Vert \le \Vert y^{-1}\Vert \Vert x - y\Vert \Vert x^{-1}\Vert \lt \frac{1}{2} \Vert y^{-1}\Vert$ pa je

$\Vert y^{-1}\Vert \lt 2\Vert x^{-1}\Vert$ . Gornji račun sada daje

$\Vert y^{-1}-x^{-1}\Vert \lt 2 \Vert x^{-1}\Vert ^{2}\Vert x-y\Vert ,$ iz čega direktno slijedi neprekidnost invertiranja.

$\ \blacksquare$

Napomena 10. Kako je

$\Vert 1_{A}\Vert \geq 1$ (Napomena 6 (b)), iz dokaza Leme 9 za

$x=1_{A}$ dobivamo da za sve

$y \in K\left(1_{A},\frac{1}{2\Vert 1_{A}\Vert }\right)$ vrijedi

$y \in A^{\times}$ te

$\Vert y^{-1}\Vert \lt 2\Vert 1_{A}\Vert$ .

Lema 11. Neka je

$f : \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ neprekidna funkcija takva da je

(2)

$\lim_{|z| \to +\infty} f(z) = 0.$

Tada

$f$ postiže maksimum na

$\mathbb{C}$ .

Proof. Najprije primijetimo da iz (2) slijedi da je

$f$ ograničena na

$\mathbb{C}$ i neka je

$M := \sup_{z \in \mathbb{C}} f(z).$ Također, (2) povlači da postoji

$R \gt 0$ takav da je

$f(z) \lt \frac{M}{2}$ za sve

$z \in \mathbb{C}$ ,

$|z| \gt R$ . S druge strane, restrikcija od

$f$ na

$\overline{K}(0,R)$ je neprekidna na kompaktnom skupu pa postiže maksimum. Očito je taj maksimum ujedno i maksimum funkcije

$f$ .

$\ \blacksquare$

Dokaz Teorema 8. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji

$x \in A \setminus \mathbb{C}1_{A}$ . Očito za sve

$\alpha,\beta \in \mathbb{C}$ ,

$\alpha \ne 0$ imamo

$\alpha x + \beta 1_{A} \in A\setminus \mathbb{C}1_{A}$ . Posebno je

$x - \lambda 1_{A} \ne 0$ za sve

$\lambda \in \mathbb{C}$ pa je prema Lemi 9 funkcija

$\varphi : \mathbb{C} \to A$ zadana s

$\varphi(\lambda) := (x-\lambda 1_{A})^{-1}$ dobro definirana i neprekidna na

$\mathbb{C}$ . Nadalje za sve

$\lambda \in \mathbb{C}^{\times}$ imamo

$\Vert \varphi(\lambda)\Vert \le |\lambda^{-1}|\Vert (\lambda^{-1}x-1_{A})^{-1}\Vert ,$ odakle slijedi

(3)

$\lim_{|\lambda|\to +\infty} \Vert \varphi(\lambda)\Vert =0.$

Naime, za

$|\lambda|\gt 2\Vert x\Vert \Vert 1_{A}\Vert$ imamo

$1_{A}- \lambda^{-1}x\in K\left(1_{A},\frac{1}{2\Vert 1_{A}\Vert }\right)$ pa je prema Napomeni 10

$\Vert (\lambda^{-1}x-1_{A})^{-1}\Vert \lt 2 \Vert 1_{A}\Vert .$ Stoga prema Lemi 11 postoji

$\lambda_{0} \in \mathbb{C}$ takav da je

$\Vert \varphi(\lambda_{0})\Vert = \sup_{\lambda \in \mathbb{C}} \Vert \varphi(\lambda)\Vert .$ Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je

(4)

$\lambda_{0} = 0 \qquad \text{i} \qquad \Vert \varphi(\lambda_{0})\Vert = 1.$

Naime, u suprotnom element

$x \in A \setminus \mathbb{C}1_{A}$ zamijenimo elementom

$y:= (x+\lambda_{0} 1_{A})\Vert \varphi(\lambda_{0})\Vert \in A \setminus \mathbb{C}1_{A}.$ Iz (4) slijedi da za sve

$\lambda \in \mathbb{C}$ imamo

(5)

$\Vert (x-\lambda 1_{A})^{-1}\Vert = \Vert \varphi(\lambda)\Vert \le \Vert \varphi(0)\Vert = \Vert x^{-1}\Vert = 1.$

Pokazat ćemo da (5) povlači

(6)

$\Vert (x-2^{-1}1_{A})^{-1}\Vert =\Vert \varphi(2^{-1})\Vert =1.$

Jednom kada pokažemo (6), bit će moguće element

$x \in A \setminus \mathbb{C}1_{A}$ zamijeniti elementom

$x - 2^{-1}1_{A} \in A \setminus \mathbb{C}1_{A}$ , odakle će induktivno slijediti

$\Vert (x-(2^{-1}n)1_{A})^{-1}\Vert =1 \qquad \forall n \in \mathbb{N}.$ Ovo je kontradikcija, jer je prema (3)

$\lim_{n\to\infty} \Vert \varphi(2^{-1}n)\Vert = \lim_{n\to\infty}\Vert (x-(2^{-1}n)1_{A})^{-1}\Vert = 0.$ Preostaje dokazati jednakost (6). Prema (5) znamo da je

$\Vert \varphi(2^{-1})\Vert \le 1$ pa pretpostavimo da je

$\Vert \varphi(2^{-1})\Vert \lt 1.$ Neka je

$0\lt \delta \lt 2^{-1}$ takav da je

$\Vert \varphi(2^{-1})\Vert = 1-2\delta$ . Iz neprekidnosti funkcije

$\varphi$ u

$2^{-1}$ slijedi da postoji

$\eta \gt 0$ sa svojstvom

(7)

$|\lambda - 2^{-1}| \le \eta \implies \Vert \varphi(\lambda)\Vert \lt 1-\delta.$

$n \in \mathbb{N}$ označimo s

$\xi_{0}, \ldots, \xi_{n-1}$ sve

$n$ -te korijene iz jedinice. Promotrimo polinom

$p \in \mathbb{C}[z]$ definiran s

$p(z):= z^{n}-2^{-n} = \prod_{j=0}^{n-1}(z-2^{-1}\xi_{j}).$ Imamo

$nz^{n-1} = p'(z) = \sum_{j=0}^{n-1} \prod_{\stackrel{k=0}{k \ne j}}^{n-1} (z-2^{-1}\xi_{k})$ pa je prema Napomeni 1

$\begin{align*} p(x)\left(\sum_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})^{-1}\right) &= (x^{n}-2^{-n}1_{A})\left(\sum_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})^{-1}\right) \\ &= \left(\prod_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})\right) \left(\sum_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})^{-1}\right) \\ &= \sum_{j=0}^{n-1} \prod_{\stackrel{k=0}{k \ne j}}^{n-1} (x-2^{-1}\xi_{k} 1_{A}) \\ &= p'(x) \\ &= nx^{n-1}. \end{align*}$ Iz prethodnog računa (i Napomene 1) slijedi

$\begin{align*} \sum_{j=0}^{n-1}(x-2^{-1}\xi_{j} 1_{A})^{-1} &= nx^{n-1}(x^{n}-2^{-n}1_{A})^{-1}\\ &= nx^{n-1}x^{-n}(1_{A}-(2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\\ &= nx^{-1}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\\ &= nx^{-1}((1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})+ (2^{-1}x^{-1})^{n})(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\\ &= nx^{-1}(1_{A} + (2^{-1}x^{-1})^{n}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}), \end{align*}$ odnosno

(8)

$\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1}\varphi(2^{-1}\xi_{j}) = x^{-1}+x^{-1}(2^{-1}x^{-1})^{n}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}.$

Iz (8) i (5) dobivamo

(9)

$\begin{align} \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1}\Vert \varphi(2^{-1}\xi_{j})\Vert &\ge \frac{1}{n} \left\Vert \sum_{j=0}^{n-1} \varphi(2^{-1}\xi_{j})\right\Vert \\ &= \left\Vert x^{-1}+x^{-1}(2^{-1}x^{-1})^{n}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\right\Vert \\ &\ge \Vert x^{-1}\Vert -\Vert x^{-1}(2^{-1}x^{-1})^{n}(1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert \notag\\ &\ge \Vert x^{-1}\Vert -\Vert x^{-1}\Vert \Vert 2^{-1}x^{-1}\Vert ^{n}\Vert (1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert \notag\\ &= 1 - 2^{-n}\Vert (1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert \notag. \end{align}$

Definirajmo funkciju

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\cup\lbrace 0\rbrace$ s

$\begin{eqnarray*} f(n)&:=& \text{card}\lbrace 0 \le j \le n-1 : \, |2^{-1}\xi_{j} - 2^{-1}| \le \eta\rbrace \\ &=& \text{card}\lbrace 0 \le j \le n-1 : \, |\xi_{j} - 1| \le 2\eta\rbrace . \end{eqnarray*}$ Tada iz (9), (7) i (5) dobivamo

(10)

$\frac{f(n)(1-\delta)+(n-f(n))}{n} \gt 1-2^{-n}\Vert (1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert .$

Kako je

$\Vert x^{-1}\Vert =1$ , za dovoljno velike

$n \in \mathbb{N}$ imamo

$1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n} \in K\left(1_{A}, \frac{1}{2\Vert 1_{A}\Vert }\right)$ , pa je prema Napomeni 10

$\lim_{n\to\infty} (1-2^{-n}\Vert (1_{A} - (2^{-1}x^{-1})^{n})^{-1}\Vert ) = 1.$ S druge strane, neka je

$\ell$ duljina luka kružnice

$|z| = 1$ određenog s

$|z-1| \le 2\eta$ . Tada za sve

$n \in \mathbb{N}$ imamo

$\frac{n}{2\pi} \ell - 1 \leq f(n)\leq \frac{n}{2\pi} \ell + 1,$ pa je prema teoremu o sendviču

$\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{n}=\frac{\ell}{2\pi}.$ Prelaskom na limes u relaciji (10) dobivamo

$1 - \frac{\ell}{2\pi}\delta \ge 1,$ što je kontradikcija. Time je dokaz teorema završen.

$\ \blacksquare$

Korolar 12. Neka je

$A$ konačnodimenzionalna kompleksna algebra s dijeljenjem. Tada je

$A=\mathbb{C}1_{A}$ .

Dokaz. Prema Gelfand-Mazurovom teoremu, dovoljno je dokazati da je

$A$ moguće opskrbiti sa submultiplikativnom normom, tj. da postoji norma

$\Vert \cdot\Vert _{*}$ na

$A$ s obzirom na koju je

$(A, \Vert \cdot\Vert _{*})$ normirana algebra.

U tu svrhu naprije izaberimo proizvoljnu normu

$\Vert \cdot\Vert$ na

$A$ . Npr., kako je

$n:=\dim A \lt \infty$ , postoji baza

$\lbrace e_{1}, \ldots, e_{n}\rbrace$ za

$A$ . Tada za svaki

$x \in A$ postoje jedinstveni skalari

$\alpha_{1}(x), \ldots , \alpha_{n}(x)$ takvi da je

$x=\alpha_{1}(x)e_{1} + \ldots + \alpha_{n}(x)e_{n},$ pa možemo definirati

$\Vert x\Vert :=\max\lbrace |\alpha_{1}(x)|, \ldots , |\alpha_{n}(x)|\rbrace .$ Promotrimo algebru

$\text{End}_{\mathbb{}}{C}(A)$ svih linearnih operatora na

$A$ , opskrbljenu s operatorskom normom

$\Vert \cdot\Vert _{o}$ (Primjer 7 (b)). Za svako

$a \in A$ neka je

$L_{a} \in \text{End}_{\mathbb{}}{C}(A)$ pripadni operator lijevog množenja s

$a$ , tj.

$L_{a}(x):=ax$ (

$x \in A$ ). Definirajmo

$\Vert a\Vert _{*}:=\Vert L_{a}\Vert _{o}=\sup\lbrace \Vert ax\Vert : \, \Vert x\Vert \leq 1\rbrace \qquad (a \in A).$ Očito je

$\Vert \cdot\Vert _{*}$ norma na

$A$ . Kako je operatorska norma submultiplikativna, za sve

$a,b \in A$ imamo

$\Vert ab\Vert _{*}=\Vert L_{ab}\Vert _{o}=\Vert L_{a} L_{b}\Vert _{o}\leq\Vert L_{a}\Vert _{o}\Vert L_{b}\Vert _{o}=\Vert a\Vert _{*}\Vert b\Vert _{*}.$ Dakle,

$(A, \Vert \cdot\Vert _{*})$ je normirana algebra.

$\ \blacksquare$

Napomena 13. čitatelj bi se mogao zapitati vrijedi li tvrdnja Korolara 12 i bez pretpostavke da je

$A$ konačne dimenzije. Odgovor je negativan. Naime, algebra

$\mathbb{C}((X))$ formalnih Laurentovih redova nad

$\mathbb{C}$ u jednoj varijabli

$X$ (vidjeti npr. [2, Example 1.41]) je primjer beskonačnodimenzionalne kompleksne algebre s dijeljenjem. Posebno, iz GMT-a slijedi da na algebri

$\mathbb{C}((X))$ nije moguće definirati normu uz koju bi ona postala normirana algebra. Argument iz dokaza Korolara 12 ne prolazi, jer zbog beskonačnodimenzionalnosti od

$\mathbb{C}((X))$ operatori lijevog množenja na

$\mathbb{C}((X))$ , s obzirom na proizvoljnu normu na

$\mathbb{C}((X))$ , nisu nužno ograničeni.

4Dokaz osnovnog teorema algebre preko Gelfand-Mazurovog teorema

Teorem 14. [Osnovni teorem algebre] Polje kompleksnih brojeva

$\mathbb{C}$ je algebarski zatvoreno. Drugim riječima, svaki nekonstantni polinom

$p \in \mathbb{C}[z]$ ima korijen u

$\mathbb{C}$ .

Dokaz. Dovoljno je dokazati da ako je

$p \in \mathbb{C}[z]$ ireducibilan polinom, tada je

$p$ nužno stupnja

$1$ .

Neka je stoga

$p(z)=\alpha_{0} + \ldots + \alpha_{n} z^{n} \in \mathbb{C}[z]$ ireducibilan polinom, gdje je

$n\in \mathbb{N}$ i

$\alpha_{n} \neq 0$ . Trebamo pokazati da je

$n=1$ . Neka je

$\langle p \rangle=p(z)\mathbb{C}[z]$ glavni ideal u

$\mathbb{C}[z]$ generiran s

$p$ . Prema Primjeru 5 (a) ireducibilnost od

$p$ je ekvivalentna činjenici da je kvocijentna algebra

$A:=\mathbb{C}[z]/\langle p \rangle$ algebra s dijeljenjem. Budući da je

$p$ stupnja

$n$ ,

$A$ je

$n$ -dimenzionalna s bazom

$\lbrace 1+\langle p\rangle, \ldots, z^{n-1}+\langle p\rangle\rbrace .$ Iz Korolara 12 slijedi

$n=\dim A=1$ , čime je dokaz teorema završen.

$\ \blacksquare$

5Zaključak

Gelfand-Mazurov teorem (GMT) je jedan on najfundamentalnijih teorema teorije normiranih algebri. Osim njegovog teorijskog značaja, on ima i mnogobrojne primjene u raznim područjima matematike. U ovom preglednom radu smo demonstrirali relativno elementaran dokaz GMT-a te smo pokazali kako iz njega na jednostavan način možemo izvesti Osnovni teorem algebre.

Jedna od direktnih posljedica GMT-a je da je centar svake unitalne proste kompleksne normirane algebre izomorfan s $\mathbb{C}$ . Između ostalih, ta činjenica se esencijalno koristi u diplomskom radu drugog autora [8], u kojem se daje karakterizacija unitalnih $C^{*}$ -algebri koje imaju tzv. CQ-svojstvo (eng. centre-quotient property).

Bibliografija

[1]	J. M. Almira, An application of the Gelfand-Mazur theorem: the fundamental theorem of algebra revisited, Divulgaciones Matem\' aticas, 13 (2) (2005), 123–125.
[2]	M. Brešar, Introduction to Noncommutative Algebra, Universitext, Springer, 2014.
[3]	I. Gelfand, Normierte Ringe, Mat. Sbornik N. S. 9 (51) (1941), 3–24.
[4]	T. W. Hungerford, Algebra (2nd ed.), Springer-Verlag 1980.
[5]	S. Kametani, An elementary proof of the fundamental theorem of normed fields, J. Math. Soc. Japan 4 (1) (1952), 96–99.
[6]	S. Mazur, Sur les anneaux lin\'eaires, C. R. Acad. Sci. Paris 207 (1938), 1025–1027.
[7]	B. širola, Algebarske strukture, skripta, PMF-MO, Zagreb. dostupno na https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/alg/predavanja/ASpred.pdf .
[8]	M. Tomašević, $C^{*}$ -algebre, diplomski rad, 2019, PMF-MO, Zagreb.
[9]	Š. Ungar, Matematička analiza u $\mathbb{R}^{n}$ , Tehnička knjiga, Zagreb, 2005.

math.e

Secondary links

Novi brojevi časopisa math.e

Matematička događanja

Kalendar

Svibanj

Matematički blogovi

Sponzori

Gelfand-Mazurov teorem i osnovni teorem algebre